i 



194 



Ignaz Heger, 



Functionen (83), die durch wiederholtes partielles Differentiiren nach x aus dem Gleichungs- 

 Ijolynome F{x, a) abgeleitet sind, und ordne die Substitutionsresultate in zwei Reihen (84). 

 Es ist dabei unerlässlieh, dass die mit D bezeichneten Substitutionsresultato mit Ausnahme der 

 beiden letzten ^,. und D, mit den darüberstehenden 5]3 beziehungsweise dieselben Anfane-s- 



glieder aufweisen. Sollte dies nicht der Fall sein, so wäre es als ein Beweis anzusehen, d? 



ass 



die Gliedersumme x^ den anfanglich ausgesprochenen Bedingungen noch nicht entspricht und 

 die Entwickelung der Wurzel x weiter fortzusetzen sei. Nun substitulre man anstatt a in diese 

 Substitutionsresultate ^ und D oder vielmehr in ihre Anfangsgliedcr einen der beiden extremen 

 Werthe ±a^^ d. h. wenn die absteigende Entwickelung vorliegt ±oo, bei der aufsteigenden 

 hingegen-^ bestimmt und notirt aber nur die Vorzeichen, nicht die numerischen AVerthe. 

 Man erhält so zwei Ecihen von Zciclien, entsprechend den beiden lieihen (84), die mit Aus- 

 nahme der beiden letzten, welche denEndfunctionen % und Q^ angehören und entgegengesetzt 

 sind, vollkommen übereinstimmen. Die Differenz in den Anzalilen der Zeichenwechsel bei 

 diesen beiden Zeichenreihen ist demnach gleich Eins. Nun übergeht man von dem erwählten 

 extremen AVerthe von a zu den endlichen Wertlien, welche dasselbe Zeichen besitzen, in der 

 natürlichen Ordnung und untersucht, welche der Functionen % und Ö zuerst ihr Vorzeichen 

 ändert, wobei man jene Mittelfunctionen unberücksichtigt lässt, deren Nachbarfunetionen 



Der 



Werth von a, bei dem man bei diesem natürlichen Vorschreiten zuerst einer Änderung des 

 Zeichens bei einer der Functionen ^ oder Ci in (84) begegnet, deren Nachbarfunetionen 

 nicht entgegengesetzte Zeichen besitzen, ist die Grenze des giltigen Intervallcs von a in dem 

 Sinne, dass eine Erweiterung desselben vermittelst der hier einH-eleiteten Untersuchung- nicht 

 gut thunlich ist. 



Bezüglich der praktischen Ausführung der eben angedeuteten Untersuchung versteht es 

 sich von selbst, dass man nicht in einem stetigen Übergänge von den extremen Werthen +~ 



entgegengesetzte Vorzeichen besitzen für den bereits substituirten extremen Werth 



von a. 



b 



fe 



ö 



oo 



vor- 



zu den endlichen vorschreiten könne, sondern dass eine beschränkte Anzahl von willkürlichen 

 Substitutionen anstatt a einzuleiten sei. Bezeichnen wir beispielsweise mit a^ einen bestimmten 

 Zahlwerth, und mit + a . . . a^ daher ein gewisses Intervall. Zufolge der bekannten Methoden 

 zur Auffindung der reellen Wurzeln einer numerischen Gleichung ist man für jede einzelne 

 der Functionen ^ und £1 in (84) im Stande, anzugeben, ob und wie oft dieselbe in dem 

 liegenden Intervalle durch Null liindurchgeht und dabei das 7j(^iohQn wechselt. Man denke 

 sich für jede der Functionen ^^ und ü in (84) diese Anzahl der wirklichen Zeichenände- 

 rungen, den Index bestimmt. Sind alle diese Indices gleich Null oder nur bei solchen Mittel- 

 functionen von Null verschieden, deren beide Nachbarfunetionen fortwährend cntgciircniresetzte 

 Zeichen behalten, so erfolgt in diesem Intervalle keinerlei Änderung in der Anzahl der 

 eichenwechsel der beiden Beihen (84). Sind aber einzelne oder mehrere jener Functionen 

 ^ und £l mit einem von Null verschiedenen Index verschen, bei welchen die Änderung des 



s 



Vorzeichens auf die Anzahl der Zeichcnwechsel von Einfluss ist; so muss man durch Z^vischen- 

 substitutionen das Intervall + a...a^ so lange verkleinern, bis keine dieser Functionen 

 mehr einen von Null verschiedenen Index besitzt. Diese Zwischensubstitutionen wird man 

 anfänglich nach Gutdünken wählen, später aber, wenn man dem eigeTitlichen Ziele schon 

 näher gerückt ist, durch ein geregeltes Approximationsverfahren erhalten, weil der gesuchte 

 Grcnzwerth des Intervallcs von a, für welchen eben die Zeiclienänderang bei einer bestimmten 



"^ 



I 



\ 



I 



\ 



■ö 



