

■b-:.-^ ji.rz— ;,-.-^Ä*^T 



. ''■' ■' ^'^i L^'J ^^a^^_^. >■_ ^ ^^. 



f 



Auflösungsmethodcflü' algehrcdsche Buclistabengleichungen etc. 



19 



o 



Es ist für sich klar, dass das solchergestalt gefundene InterA^all von a eine viel gerino-ere 

 Ausdehnung besitzen wird, als das eomplete giltige Intervall, welches die erste Methode liefert, 

 allein es ist hier unmöglich, ohne sich in Aveitläufigere Untersuchungen über das Reell- und 

 Lnmaginärsein von Wurzeln, welche durch Zeichenwechsolverlustc angedeutet werden, einzu- 

 lassen, diese Intervalle zu erweitern. 



Iliemit kann dalier die erste der beiden gestellten Aufgaben, nämlich die Bestimmung 



des Ergänzungsgliedes 



A als gelöst ang-esehen werden. Der Wei^th von 6 ist zwar bisher nur 



nach Willkür gewählt worden und man könnte allerdings diese Grösse noch dazu benützen, 

 um eine Bedini^uno- damit zu crfallen und einen Yortheil zu erreichen, worauf man bei der 

 willkürlichen Wahl A^crziehten muss. Je a'rösser der numerische Werth von ü ist, desto weiter 

 liegen die beiden Grenzen :^^. und 2;,. + A aus einander, wenigstens für die extremen Werthe 

 von a; aber eben dadurch, wenigstens bis zu einer gewissen Grenze hin, Avird man auch 

 das entsprechende Intervall vergrössern, innerhalb dessen die beiden Grenzen die exacte 

 Wurzel ^(a) einschliessen. Was man also einerseits an Genauigkeit aufgibt, gcAvinnt man 

 andererseits durch eine grössere Ausdehnung des giltigen Intervalles von a. Yon dem jedes- 

 maligen speciellen Zwecke allein, den der Rechner verfolgt, kann es abhängen, in welcher 

 AVeise man hier zwischen Vor- und Nachtheil die gehörige Ausgleichung zu treffen hätte. 

 Eine p^enaue und weitläufigere Berücksichtia^uuf^' dieser Anforderun<>-en lie^t aber hier nicht in 



b 



ö 



o 



fe 



unserem Plane. 



n. üntersiicluiiiircii über die Convcr':rcnz der unendlichen Reihen. 



§• 5. 





Wir wollen nun 'zur Beantwortung der zweiten Frage schreiten, die wir un;^ anfangs 

 gestellt haben, nämlich untersuchen, ob die bei den besprochenen Auflösungsmethoden hervor- 

 O'ehenden unendlichen Reihen a'Giren den wahren AVurzelwerth conver£>*iren und nach wehdiem 



b^ö 



Gesetze dies erfolgt. Diese üntersucliung wird darüber Aufschluss ertheilcn, ob die weiter 

 fortgesetzte Entwickelung der AYurzel über die G-liedersumme x^ hinaus auch ein genaueres 

 Resultat liefert oder nicht. 



Fourier hat im zweiten Buche seines unvollständig erschienenen AVerkes: „Aiialyse des 

 6(j_uations determinces" das Gesetz der Convergenz für die Approximationsmethoden der 

 erschicdcnen Ordnuno-en entwickelt. Diese Untersuchuno-en beziehen sich zwar dort nur auf 



V 



den Fall einer numerischen Gleichung, die gewonnenen Gesetze sind aber allgemein giltig 

 und erstrecken, wie auch dort ausdrücklich bemerkt ist, ihreAVirksamkeit auf die verschieden- 

 artigsten Gebiete der algebraischen und Infinitesimal -Analysis. Diese von Fourier aufge- 

 stellten Sätze sind es, welche auch die hier vorliegende Aufgabe zur Lösung bringen und über 

 die ConveroT.nz der bei der Auflösuno- von Buchstabem>'leichun£^en hervorgehenden unend- 



t^ 



liehen Reihen Aufschluss ertheilen. AVir werden daher zuvörderst diese Gesetze der Appro- 

 ximation auf den hier in Rede stehenden Fall einer Buchstabengleichung ausdehnen, unter- 

 suchen, welcher Ordnung die bei der Auflösung derselben angewendeten Approximations- 



methoden angehören, mid endlich die verschiedenen Enwickclungsweisen vermittelst derselben 

 einer genauen Prüfung bezüglich ihrer Convergenz unterwerfen. 



z* 



