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196 Ignaz Heger. i 



Die in den vorliergelienden Abschnitten gelehrten Eeihenentwickelungen lassen sich, wie 

 schon früher zu wiederholten Malen bemerkt wurde, in zwei getrennte Operationen zerfallen: 

 Die Bestimmung der Anfangsglieder beruht auf ganz anderen Untersuchungen und 

 erfüllt auch einen anderen Zweck, als jene der Folgeglicder. Erstere bezweckt die 



w 



b 



und ist der Bestimmung der Grenzwerthe bei numerischen Gleichungen gleichzuhaltcn. Ist 

 aber ein bestimmtes Anfangsglied gefunden, so bildet dasselbe dann den Ausgangspunkt für 

 die fernere Entwickelung, und die zugehörigen Folgegliedcr gehen jetzt aus einer Eeihc von 

 Gleichungen hervor, die von der ursprünglich gegebenen wesentlich verschieden und meisten- 

 thcils von weit niedrigerem Grade sind. Der Grad der Gleichungen, welche die Folgeglieder 



Wur 



b-'ö 



gemeinschaftlich zukommt. Ist das Anfangsglied nur einer einzigen Wurzel eigen, so sind alle 

 diese Gleichungen, welche die Folgeglieder liefern, vom ersten G-rade; kommt hingegen das 

 Anfangsgliod j9 Wurzeln gemeinschaftlich zu, so erhält die Gleichung die Gradzahl f. 



Wir Avollen nun zunächst darthun, dass die Bestimmung der Folgeglieder, auf die bekannte 

 Weise ausgeübt, eigentlich ein Approximationsverfahren der ersten oder einer höheren Ord- 

 nung vorstelle. Ist nämlich x^ ein zwar nicht vollkommen genauer, sondern nur angenäherter 



X Gestalt: x^^^x^ + ^'5 wo 



i^eoiR-neten Zusatz bedeutet und zu dessen Bestimmung eigentlich die Gleichung : 



= hervorgeht, 



x' anstatt der Unbekannten x die 



Werth 



X emen 



b 



dienlich wäre, die aus der ursprünglicl 



1 gegebenen F(x^ a 



F(x 



wenn man in ihr vermittelst der Substitution x = x 

 andere x' einführt. Durch Auflösung der Gleichung F{x^ + x\ a) = würde man zwar den 

 vollkommenen genauen Werth von x' und folglich auch jenen von x erhalten, wenn man nicht 

 dabei genau denselben unübcrsteiglichen Hindernissen begegnen wmrde, welche der exactcn 

 Auflösung der ursprünglichen Gleichung im Wege stehen. Man kann aber in der Gleichung 



Fix^, 



weglassen, sie auf solche AVeise in eine andere, wesentlich verschiedene verw-andeln, die eine 



X . a 



gewisse Glieder, namentlich die mit den höheren Potenzen von x' verknüpften 



niedrigere Gradzahl trägt, aber auch andere Wcrthe von x' liefert. Löst man nun die solcher- 

 gestalt vereinfachte Gleichung auf nach der darin enthaltenen Unbekannten x\ so erhält man 



wohl keinesfalls jenen Zusatz, der. 



zu x^ hinzugefügt. 



den exacten Wurzelwerth x liefert, 



sondern einen anderen, der aber unter gewissen Umständen eine Annäherung zum wahren 

 Wurzelwerthe zur Folge hat. Die Art, wie diese Erniedrigung der Gradzalil der Gleichung 



bewerkstelligt wird, kann aber verscliieden sein. Denkt man sich die 



x . a 



F{x^- 



Function F {x^ + x', a) aufsteigend nach Potenzen von x' entwickelt, so Avird man in der Regel 



crlialtcn : 



(85) F{x,-^x ,a 



F{x^,a)+F{x,.,a)j+F"{x^, 



X 



'2 



a 



1 .2 



+ F"'{x,.,a)^^ 



Nimmt man nun von all' diesen Gliedern nur die b ei den ersten und setzt ihre Summe 



gleich Null, so erhält man eine Gleichung des ersten Grades in x\ Der auf diese AVeise 



gewonnene Werth von x' bringt bisweilen die Summe x^ + x' dem wahren Wurzelwerthe x 



r 



näher, als x^ war, und das dabei eingeschlagene Verfahren stellt die Approximation de 

 ersten Ordnung dar, auch die linear e oder Ncw^ton sehe genannt. Man berücksichtigt 

 dabei nur die' beiden Substitutionsresultate F{x,,a) und i^' (a;,, a) , die für x = 2:^ aus dem 



x^ aus 



-u^ 



-i-y^iH 



