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Auflosungsviethodefür olgehraische Buclistabengleicliungen ctc, 197 



ursprüngliclicn GleicliungsxDolynome i^(a;j a) und seinem ersten partiell nach x genommenen 

 Differentialquotienten F' (x^ a) liervorgelien. 



Würde man aber anstatt der zwei ersten Glieder der Summe (85) die drei ersten: 



F{x,^ a) + F' (x,,, a) . — -f F" fe,, a) . ^ hervorheben, alle übrigen aber weglassen, so erhält 



man durch gleich Null Setzen derselben eine Gleichung des zweiten Grades, die wieder in 



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eine Annäherung zum wahren Wurzelwerthe herbeiführen. Dies ist dann das Approxima- 

 tionsverfahren der zweiten Ordnung, wobei drei Substitutionsrcsultate: F{x^^ a), F'{x^, a 

 F'\x^^ a) berücksichtigt werden, die für x = x, aus dem ursprünglichen Gleichungspolynome 

 und seinem ersten und zweiten, partiell nach x genommenen Dififerentialquotienten hervorgehen. 



Im Allgemeinen kann man von der Summe (85) eine beliebige Anzahl von^ + 1 ersten 

 Gliedern behalten und der Null gleichsetzen, alle übrigen, mit höheren Potenzen von x' 

 verknüpften hingegen weglassen und erhält so eine Gleichung des p^''' Grades in x\ die 

 gelegentlich einen, wohl auch mehrere Werthe für die Unbekannte zu liefern geeignet ist, 

 welche, zu x, hinzugefügt, eine Annäherung zum wahren Wurzelwerthe zur Folge haben. Dies 

 ist das Approximationsverfahren der _p^"" Ordnung und wird dadurch charakterisirt, dass dabei 

 nur die aus dem ursprünglichen Gleichungspolynome i^(x, a) und seinen^ ersten partiell nach 

 X genommenen Differentialquotienten inxx^x^ hervorgehenden Substitutionsresultate in 



Betracht kommen. 



Nach dem bisher Gesagten ist es wohl leicht einzusehen, dass all' diese verschiedenen 

 Approximationsmethoden der ersten sowohl, als auch jene der höheren Ordnungen bei der 

 Entwickeluno' der Foli^eQdieder in Anwendung kommen. Am häufigsten unter allen tritt die 



ö ^^-^ ^ "^-^b ö 



Approximation der ersten Ordnmig in Wirksamkeit. In der That ist mcistentheils mit der 

 Bestimmung des Anfangsgliedes die betreffende Wurzel schon von allen übrigen isolirt, was 

 sich bei der Ermittelung des Coefficienten li^ zu erkennen gibt dadurch, dass die hiezu dienende 

 Gleichung I[II\^]—0 einen unwie de rh ölten Wurzel werth für h^ liefert. In diesem gewöhn- 

 lichsten aller Fälle ergeben sich alle zugehörigen Fulgeglieder der Ecihe nach aus Gleichungen 

 des ersten Grades. Ist nämlich x^ die bereits ermittelte Gliedersumme, so hat man die beiden 

 Substitutionsresultate: F{x^,a)^%\ und i" (a;„ a) = ^^V zu bilden, vermittelst derselben die 

 Gleichung des ersten Grades: ^^ -]- '^s/x :=0 zu construiren und dieselbe nach x aufzulösen, 

 wobei der Quotient x' ^= — -^ in einem einzigen oder wohl auch in mehreren Anfangsgliedern 

 entwickelt wird. Der unmittelbare Anblick dieser Gleichung lässt wohl keinen Zweifel übrig, 

 dass man hier eigentlich die Approximationsmethode der ersten Ordnung in Anwendung 

 gebracht habe, denn anstatt die complete transformirte Gleichung in x'^ nämlich die 

 F(x^ + x', a) = vorzunehmen, beschränkt man sich auf die Auflösung einer durch Hinweg- 

 lassen der Glieder mit den höheren Potenzen von x' daraus abgeleiteten Gleichung des ersten 

 Grades. Man begegnet bei der Auflösung von Buchstabengleichungen der Approximation der 

 ersten Ordnung, sobald durch hinlänglich weit geführte Entwickelung einer AVurzel die voll- 

 ständio^e Trennun*^- derselben von allen übrigen bewerkstelligt ist, also jedesmal dann, wenn 

 die der Entwickelung unterworfene Wurzel eine uuAviederholte ist, und zwar entweder 

 gleich Anfangs oder im späteren Verlaufe derEechnung bei der Bestimmung der Folgeglieder. 



Allein auch die Approximationsmcthoden höherer Ordnungen finden gelegentlich Anwcn- 

 duncs und zwar namentlich dann, wenn das Anfangsglied x, oder überhaupt der bereits 



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