i,-'^--y 





1 J^ -X _ VJ -^ 



-' ^' ■-' 



-K. r.'.yr.-:/-- 



^t t j^.-...- An ."t T Tj ^ ■ ^-■'■'J^^^ ■ ^ A. I_^'^,i^' ^iJ-T^"^ f ' rr-vv"L^i^ J-^-Jf*■^ "»^ "-^ — vt-> -■ 



;*^ . 



198 



Ignaz' Heger, 



entwickelte Bestandthcil x^ zweien oder mehreren Wurzeln gemeinscliafdicli zukommt , d. ]j. 

 w^enn der Coefficicnt li des zuletzt entwiekelten Gliedes ein wiedeidiolter Wurzelwerth seiner 

 Bestimmungsgleichung ist. Die bekannte, zur Bestimmung der Folgeglieder dienliche ßegel 

 schreibt dann vor, den bereits entwickelten Bcstandtheil x^ in das Gleichungspolynom und 

 seine ^ ersten partiell nach x genommenen Differential quotientcn zu substituiren, falls h^ eine 

 _p-mal Aviederholte Wurzel war, aus den solchergestalt gewonnenen Substitutionsresultaten: 



%\, W; V^ "-' V'^ die Gleichung des ^>Grades: 



I 



% + ^: . X' 



1.2 



%:' X 



/'> 



r 



1.2.3 



^/' x" 



1 .2...p 



% 



ÜO r^ V 







zu bilden und die Anfangsglieder von x' zu suchen; mit anderen AVorten, man findet das nächst- 

 folgende Glied vermittelst der Approximationsmethode der ^^^" Ordnung. 



^^STachdem durch das eben Erwälmte bewiesen ist, dass die in den früheren Abschnitten 

 auseinandergesetzten Entwückelungen im weiteren Verlaufe sich auf die Approximations- 

 methoden der ersten und höheren Ordnungen zurückführen lassen und zur Beurtheilung ihrer 

 Convergcnz die von Fourier gefundenen allgemeinen Gesetze dienlich sind, so ist hiemit 

 schon der Weg vorgezeichnet, den die nachfolgenden Untersuchungen zu nehmen haben. Wir 

 wollen aber keineswegs denselben eine grössere Ausdehnung geben, als für das praktische 

 Bedürfniss unumgänglich nothwcndig ist. Aus diesem Grunde werden Avir nur die lineare 

 Approximation, d. h. jene der ersten Ordnung einer näheren Betrachtung unterAvcrfen , die 

 Approximationen höherer Ordnungen jedoch unberücksichtigt lassen. Es ist uns dies verstattet, 

 Aviewohl man dem frülier Gesagten zufolge auch den Approximationen höherer Ordnungen 

 begegnet, denn man kann es zuletzt immer dahin bringen, dass man nur mit der Approximation 



der ersten Ordnung zu thun hat. 



In der That begegnet man den Approximationen höherer 



Ordnungen nur dann, wenn mehrere Wurzeln in den Anfanofso-liedern übereinstimmen. Alsdann 



ö^ö 



sind aber nur folgende zwei Fälle möglich: entw^eder alle diese in den Anfangsgliedern über 



einstimmenden Wurzeln sind dennoch sämmtlich von einander verschieden und dann wird 

 durch hinlänglich weit fortgesetzte Entwickolung derselben ihre vollständige 

 Trennung bei irgend einem Gliede nothwcndig erfolgen und von diesem Momente an weiter- 

 hin nur die Approximation der ersten Ordnung in Anwendung kommen; oder einige oder 

 alle dieser AVurzeln sind vollkommen gleich^ und dann gelingt zwar die Trennung derselben 

 selbst bei der ins Unendliche fortgesetzten Entwickelung nicht und man kann sonach zu ihrer 

 EntWickelung niemals die lineare Approximationsmethode in Anwendung bringen; allein 

 dann lässt sich auf bekannte Weise durch Sonderung des gemeinschaftlichen Factors, der im 

 ursprüngli(dien Gleichungspolynome und seinem ersten partiellnachx genommenen Differential- 

 quotienten, w^ohl auch im zweiten und den darauffolgenden erscheint, stets eine andere und 

 einfachere Gleichung ableiten, w^elche nur diese gleichen Wurzeln, aber nunmehr als unAvie- 

 derholte enthält, und zuletzt vermittelst der linearen Approximation ihre Entwickelung 

 in Eeihenform ermöglicht. Es ist somit stets möglich, zur linearen Approximation zu 

 gelangen und folglich hinreichend, nur diese einer genaueren Betrachtung zu unterziehen. 



Eine fernere Beschränkung, zu der wir genöthigt sind, schliesst alle imaginären 

 Grössen aus dem Bereiche der nachfolgenden Untersuchungen, so zwar, dass nur die reelJ en 

 Wurzeln x und die Convergcnz der sie darstellenden unendlichen Reihen für reelle Werthe 



o 



der unabhängigen Buchstabengrösse a in ihren Bereich gezogen erscheinen. Diese Lücke ist 



