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Aitfl'ösungsincthode für algchraisclie Buclistabengleicliungen etc. 



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gewiss um so elier zu entscIiuldigeD ^ da selbst in dem viel einfacheren Probleme der nume- 

 rischen Gleichungen dieser Punkt noch immer nicht erledi^^'t ist. 



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Endlich machen wir noch die beschränkende Annahme, dass das Gleichungsj^olynom 

 i^(x,a) sowohl nach Xj als nach a eine ganze und rationale algebraische Function sei. Diese 

 Beschränkung ist aber keineswegs eine nothwendige , da die nachfolgenden Untersuchungen 

 und Ergebnisse auf jede beliebige Functionsform passen, bringt aber den Vortheil, dass die 

 Darstellung eine einfachere wdrd, weil diese Functionsform keine Unterbrechung der Stetig- 

 keit aufweist. 



6. 



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Die Function F[x,, + x' ^ ci) lässt sich vermittelst der Taylor'schen Formel mit dem Ergän- 



zungsgiiede darstellen in folgender Form: 



(86) 



i^(^, + 2^' , a) = F{x, j a) + x'^F {x^ -\- px ^ a) 



und diese Gleichung ist richtig, so lange für die angenommenen Wertlie von a und innerhalb 

 a:^ und x^ + ::c' die Functionen: F(x^a)j F' [x^a) endlich und stetig bleiben. Die im letzten 

 Gliede erscheinende Grosse p besitzt einen zwischen und 1 liegenden Wertli und ist im 

 Allgemeinen auch von a abhängig, so zAvar, dass x,.-\-px' eine zwischen x^ und x^^-^x' 

 fallende Mittelgrösse bedeutet. Die Ableitung dieser Formel ist hinlänglich bekannt. 

 Durch a'leich Null Setzen dieses Ausdruckes (86) erliält man die Gleichung: 



F{x^,a) + x',F 



X 



px' ^a) 







und diese liefert 

 (87) 



X 



F{xr , a) 



F' {xr ± px' , a) 



Dies ist der vollkommen genaue Werth von x tmter der Voraussetzung, dass für x,. -\- px^ 

 die entsprechende Mittelgrösse gesetzt wurde. Die in dieser Formel enthaltene Regel ist 

 folgernde: Wcmi ein Werth x,, bekannt ist, welcher, anstatt x gesetzt, die Gleichung i^(x,a) ---rn 



nicht identisch erfüllt; so findet man den Zusatz x\ welcher zu x^ als Correction hinzugefügt 

 werden soll, wenn man das Substitutionsresultat F{x^,a) durch einen Werth von F'ix^a 

 dividirt, den diese Function für eine zwischen dem exacten AVurzelwertlio x^^,-x! und dem 

 davon differirenden x^ liegende Zwischensubstitution x^~ 

 erhaltenen Quotienten in das entgegengesetzte verwandelt. 



px'! annimmt und das Zeichen des 



Durch eine geometrische Construction kann man diesen Satz, so zu sagen, unmittelbar 

 einschen. In Fig. 1 stellt das Bogcnstück nsorm ein Stück irgend einer Curve ^=/(a;) dar, 

 die im Puidcte die Abscissenaxe qo2^ sclmeidet. Die dem Punkte entsprechende Abscisse 

 ist eineAVurzel der Glcichung/(a^)=:0. Denkt man sich irgend eine andere Abscisse x^ aufge- 

 tragen, welcher der Punkt _^; auf der Axe der x entsprechen mag, die entsprechende Ordinate 

 pm^=y^. errichtet, die einen von Null verschiedenen Werth hat und im Punkte m die Curve 

 trifft, und nun durch die Sehne om die beiden Punkte o und vi verbunden, so hat man: 



-. Die Eichtung der Linie om ist offenbar parallel zur im 



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Punkte r der Curve gezogenen Tangente rt. Dieser Punkt r befindet sicli jedenfalls , so lange 

 die Curve orm eine continuirliche ist, zwisclien o und vi und es entspricht demselben eine 



