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Ignaz Heger. 



Abscisse, welche zwischen Ao und Ap fällt. Man hat dem zufolge tang pom = tang ptr 

 und folglich: op 



tang ptr 



und somit: Ao 



Ap 



mp 



i ang j)tr 



Ersetzt man in diesen Glei- 



chungen Ao^ Ap^ mp]op beziehungsweise durch die ihnen zukommenden Bezeichnungen 



x^ x^j y 



/( 



W 



dy 

 dx 



=/ 



p 



diese Function für den dem Punkte r entsprecli enden Wertt der Abscisse und die durct x, -} 

 daro-estellt werden kann, annimmt ; so erhältman die mit der (87) übereinstimmenden Gleicliungen : 



X 



f 



f'[Xr 



'\') 



fiXr + p.-« ) 





X 



/ 



X. 



f{xr) 



f (Xr + px') 



m 

 Die 



Dies wäre für eine numerische Gleichung giltig. Für eine Buchstabenglcichung jedoch, 

 in der nebstdem noch eine willkürliche Grösse a erscheint, hätte man eine ähnliche Constructionj 

 wie hier in der Ebene, im ßaumo mit drei Dimensionen zu entwerfen. Für jeden einzelnen 

 Zahhverth von a nämlich lässt sich eine der Fig. 1 ähnliche Zeichnung entwerfen, 

 der aber die hier ersichtlichen Linien stets eine andere Grösse und Lage erhalten. 

 Fio-. 1 stellt eigentlich den Durchschnitt dieser im Eaumc von drei Dimensionen zu construi- 

 renden Gebilde dar für einen speciellen Werth von a. Man kann sich daher die Ebene der 

 Fig. 1 längs einer darauf senkrechten Geraden, fortwährend parallel zu sich selber bewegt 

 und dabei die darin vorkommenden Linien und Winkel in geeigneter Weise abgeändert denken 

 und wird so die im Eaume von drei Dimensionen bestehende Construction finden. Jede in der 

 Fic. 1 ersichtliche Linie verwandelt sich dabei in eine entsprechende Fläche: die Abscissen- 

 axc in eine Coordinatenebene, die Curve nsorm in eine krumme Fläche, die Ordinate mp in 

 eine Cylinderflache, die auf der Coordinatenebene senkrecht steht und dieselbe in der ebenen 

 Curve x=^x^ schneidet, die Sehne om in eine windschiefe Fläche, welche man sich dadurch 

 gebildet zu denken hat, dass man die gerade Linie om gleichzeitig auf der Curve: x = ^(a) 

 von einfacher, und die andere: y^F{x,a),x = x, von doppelter Krümmung fortbewegt und 

 dabei fortwährend zur Coordinatenebene der xg parallel erhält. Die Tangente r i^ geht dadurch 

 über in eine tanpirende windschiefe Fläche, welche die Fläche F{x,a)^g in einer Linie 

 von doppelter Krümmung berührt, die fortan zwischen denjenigen zwei Curven liegt, deren 

 Durchschnitte mit o und m in Fig. 1 bezeichnet sind und deren Projection auf die Ebene 

 der X y als eine 



Curve von einfacher Krümmung fortan zAvischen den beiden Curven 



X 



(p(a) 



un 



d 



X 



X 



liegt , 



und demnach durch die Gleichung: x 



(p{a) 



^= ^7- + P^' ^^"^^ 



x^ und p eine unbekannte 



o-estcUt werden kann. Hier bedeutet x' die Differenz: 



Function von a, die jedoch die Eigenschaft hat, nur zwischen und 1 liegende Werthe 



anzunehmen. 



Die Gleichung 



87 



; 



deren Sinn durch die angegebene Construction vollkommen 



beleuclitet wird, dient dazu, über die Convcrgenz der Approximation ein IJrtlieil zu fällen. 

 Denken wir uns nämlicli in dem Ausdrucke (87), welcher den genauen Werth der Gorrection x' 

 liefern würde, die im Nenner erseheinende Function F{x,+px', a) durch eine andere 0'(a) 

 ersetzt, die genau dasselbe Vorzeichen, aber einen numerisch __grösseren Werth 

 besitzt, so wird, so lange diese Bedingung erfüllt bleibt, der durch diese Änderung abgeleitete 

 Ausdruck: 



8 



F{xr , a 



-r£r^^ >■-■- "v^ 



_ ^ 



_ ^TM — 



