-■^**^-^^"1 ''^H-^L-^t^^ V \ - 



--■1 ^^<-^L-^^^^ V ^ -^-X - ■-^Jx'""^ ^^^■J■■^^w^^ "'^"i Ljülj- 



■ T-.1. I 1^ ■- ■-"■ ^.t"- "vJ^V. ^-^ i 



ryii^j. 



I ^ -T ■- -1 ■-■ ^ ■ -C \ "'"^''''Tü^l^ 



-L--1 V r4v-> ^-^-^l ^ f,^J\ Y-LL Igr^^TJ^T? 



^>"ä=#=^ 



Außosunrjsvietliode für algebraisclie Ihichstabengleicliungeii etc. 



201 



stets dasselbe Zeichen wie der exactc Zusatz x\ aber einen numerisch kleineren Wertli 

 erhalten, und demzufolge liegt der Wcrth dieses Ausdruckes (88) zwischen und 2:\ 

 kann nun diesen Ausdruck (88) zu x^ hinzufügen und der so erhaltene Wertli: 



89) 



X. 



F(xr , a 



0' 



a 



wird dann jedenfalls zwisclien x, und x^ -f x, d. h. zwischen x, und dem exacten Wurzelwertlie 

 ^ (a) liegen, aber von demselben nocli verscliiedcn sein. Der neue Ausdruck (89) liegt dalier, unter 

 der oberwähnten, bei der Wahl von (ß' (a) beobachteten Vorsicht, dem wahren AVurzelwerthe 

 f(«) jedenfalls näher als derAVerth x,., ist aber noch immer, und zwar in genau demselben 

 Sinne fehlerhaft Avie x,, mit anderen Worten, ist noch immer grösser als der cenaueWerth 

 von x^ wenn x^ zu gross war, und kleiner, wenn x^. zu klein war. 



So wie hier durch einen einmaligen Schritt aus dem ungenauen ersten Werthe x^ ein 

 zweiter genauerer Werth abgeleitet wurde, so kann man durch mchrmalio^e Wicderholunt>' 

 dieses Verfahrens der Eeihe nach einen dritten, vierten, stets näher liegenden Werth finden 

 und dem wahren AVurzelwerthe ^(a) stets näher kommen. Alle solchergestalt der Reihe nach 

 gefundenen AVerthe sind sämmtlich entweder zu gross oder zu klein, je nachdem der als Aus- 

 mgspunct benützte Werth x^, zu gross oder zu klein war. Der dabei einzusch]af>'endc AVeo* 

 ist leicht einzusehen: Bezeichnen wir mit: £o, ^ij £2, - - • ^t d^cr Eeihe nach diese Werthe 

 unter ,Xo den ursprünglichen x^, verstanden, so ist jedes Glied dieser Eeihe aus dem unmittelbar 



x, a 



vorhergehenden durch Substitution desselben anstatt x in das Gleichungspolynom P^r=z]: 

 und nachherige Multiplication des dabei gewonnenen Substitutionsresultates mit ■ 7^- abt^-eleitet 



wie dies in den nachfolgenden Gleichungen ersichtlich gemacht ist: 



0'{a) 



(90) 



X. 



F{X, , a) 



#' 



a 



? 



X.- 



€>' [a) 



? 



X, 



F{Xt~\ , a) 



(P' 



a 



Hier muss aber die Function (P' (a), wenn sie stets dieselbe bleiben soll, dasselbe Zeichen, 

 aber ehien numerisch grösseren Werth besitzen als die Functionen: 



(91 



F'{x..X,,a) , F^{x,.. X, ,a) ,.... F'{x...X,, 



a 



unter x . . . . ^^^ x £^, x . . . . £, die entsprechenden Mittelgrösscn verstanden , welche an 



die Stelle der früheren x ^ px treten. Diesen Bedingungen kann man jedoch nur dann ent- 

 s]3rechen durch einen einzigen Werth von (p' {a) , wenn alle diese Functionen (91) einerlei 



X und Xq liegen, 



Vorzeichen tragen. Da nun alle hier erscheinenden Mittelp-rössen zwischen 



so ist es möglich, all' diesen Bedingungen durch ein einzio-es (P 



a 



* • 



Function F' (x, a 



zu genügen , wenn die 



für alle zwischen x und I^ liegenden Werthe von x einerlei Vorzeichen 

 behält, und zwar dadurch, dass man der Grösse (p' {a) eben dieses Vorzeichen und den 

 gros st en numerisch en oder einen n och gross er cn Werth er t heilt, dessen i^(x,a 

 in diesem Intervalle fähig ist. Hat man eine solche Wahl der Function (p' [a] wirklich 

 getroffen, was offenbar wieder nur für ein beschränktes Intervall von a möglich ist, so werden 



90) gezogenen Werthe J,, 1\, I,, . . . . X, der Eeihe nach der 

 exacten Wurzel (p{a) näher rücken, tmd zwar in der Eichtung von 1^ gog(tJi dieselbe, also stets 

 OTÖsser oder stets kleiner sein. 



die aus den Gleichungen 



ö 



Das hier angegebene Approximationsverfahren, Avelchcs offenbar ein lineares ist, unter- 

 scheidet sich von demjenigen, welches bei numerischen Gleichungen angewendet zu werden 



Benlcschriftcn der mathcm.-naturw. Ol. XTTI. Ed. AbhaiuU. v. Nichtmitg], ' 



a;i 



