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Ignaz llege}\ 



pflegt, denn man dividirt hier stets durcli denselben Ausdruck 0'{a), während dort der Divisor 

 sich fortan ändert. Aus diesem Grunde besitzt auch die hier besprochene Approximation einen 

 geringeren Grad der Convcrgenz, wie durch Vergleichung von Fig. 2 und Fig. 3 alsoglcich 

 eingesehen werden kann. Fig. 2 stellt den Gang der hier angegebenen Approximation vor, 

 bei welchem die gezogenen Geraden: m^p,, m^p^'^ m^])^^ zu einander parallel sind und 

 mit der Abscissenaxe op einen grösseren Winkel bilden, als die einzelnen Elemente der Curve 



om^m.{m,', während in Fig. 3 die Geraden m^p^,m,,p.,, die Curve tangiren und sich daher 



die einzelnen Punkte p^ J^^d p^ ■ • • • ii^ einem viel rascheren Verhältnisse dem Durchschnitts- 

 punkte nähern. Trotzdem ist die hier angegebene Approximationsmethode ebenfalls conver- 



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gent, ond zwar selbst dann noch, 

 stücke on bemerkt werden kann. 



wenn die andere divergent wird, wie dies an dem Bogen- 



Wir wollen nun zunächst das Gesetz der Annäherung genauer untersuchen, welches bei 

 diesem Verfahren gültig ist, und beginnen mit dem einfachsten Falle, der dann für die übrigen 

 complicirteren als Richtschnur dienen wird. In Fig. 4 sei nom eine gerade Linie, welche die 



Abscissenaxe qop in einem Punkte o schneidet, y 



ax 



ß 



vom Punkte _p die Ordinate j^m^ errichtet und nun die Gerade m^p^ gezogen, welche mit der 



J: 



ibscissenaxe einen grösseren, aber mit denselben Zeichen verselioncn Winl 



schlicsst, mit anderen Worten, in deren Gleichung y=:{a-^ d) x + ß' der Coefficient a + d einen 

 numerisch grösseren Werth und dasselbe Vorzeichen Avle a besitzt. Dieselbe trifft die Abscissen- 

 axe im Durchschnittspunkte p^^ welcher offenbar zwischen o mx^p liegt. Hier errichtet man 

 abermals eine Ordinate p,m, , zieht durch den Punkt m., die m.,p., unter demselben Winkel gegen 

 die Abscissenaxe wie die frühere m^p^ und fährt so fort in der gebrochenen Zickzacklinie 

 pm.pyin.^p.^ . . . sich dem Punkte o zu nähern. Dies ist offenbar das früher erwähnte Verfahren, 

 angewendet auf die GleicJiung des ersten Grades : ax^ß=^ 0. Eine solche Anwendung wird zwar 

 niemals gemacht werden, allein die Untersuchung dieses Falles hat einen anderen Zweck und 

 ist für das Nachfolgende von AVichtigkeit. aA-d ist in dem gegenwärtigen Falle der Werth von 



0'{a), lo^ 3£n £2, .... sind die Abscissen der Punkte p, p, , p., und die jedesmaligen 



Fehler x\ <, x^, sind durch die Linienstücke op, op,, op^, sowohl ihrer Grösse, als 



auch ihrem Zeichen nach ausgedrückt. 



Es soll nun das Gesetz der Reihe x, x\, d 

 p^ptangpp^m^-^m^p, d.h. (So — 3£,) {o.-'^d 



2; 



. an£rc£reben werden. Man hat zunächst 







ß und findet, w^eil x — x 



tA-i 



So, ferner 



ß 



I 



ax ist: (x 



x 



a — a 



acc', also: x 



a 



a -1- o.' 



x'. Wendet man diese Formel daz 



an, um jedes Glied der Peihe: x\ x,\ x/, aus dem unmittelbar vorhergehenden abzu- 

 leiten, wozu sie sich eben eignet, indem man nur die Stellenzeiger 0, 1 der in ihr erscheinenden 

 Grössen x\ x[ in andere, gleichfalls um Eins differirende ganze Zahlen zu verwandeln braucht, 

 so überzeugt man sich, dass diese Eeihe eine geometrische sei mit dem constanten Quotienten 



a 



a-i-a 



; 



SO zwar, dass das allgemeine Glied derselben 





(92) < = 



wird. Man erhält also den Betrag des nach ^maliger Anwendung des in Pcde stehenden 

 Approximationsverfahrens bei der Gleichung "des ersten Grades ax-\- ß^^ noch vorhandenen 



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