Attflösungsmetliodeßlr algehraische Biiclistahengleicliunge^i etc. 



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Felilcrs :^'^, wenn man den ursprünglichen Fehler x' ^-mal mit der Grösse — '—; multiplieirt. 



Es lassen sich hier die Folgermigcn ziehen: 



Erstens: Wenn a und a^ wie eben hier vorausgesetzt, gleiche Zeichen haben, also der 



o.' 



numerische Werth von a -f- a OTÖsser ist als jener von a, so erhält der Bruch einen 



zwischen Null und Eins liegenden Werth und beim fortwährenden Waclisen von t nähert sich 

 x^ daher dem Wertlie Null. Die Grossen 9£o, ^i, S2; • • • • nähern sich folglich unbegrenzt dem 



wahren Wurzelwerthe x^ . 



a 



Zweitens: Der Werth des Bruches 



fi 4- o. 



ist unter eben dieser Voraussetzung positiv, 



und demnach besitzen alle Grössen: x!j x/, ir'o, . . . . einerlei Zeichen und die AVerthe 3£o; 3£i ? 

 ^2, . . • . sind entweder sämmtlich zu gross, oder sänmitlich zu klein, je nachdem der erste von 

 ihnen 9£o zu gross oder zu kloin war. 



bestimmt. Je näher 



Drittens: Die Convergcnz Avird durch denAA^erth des Bruches 



a-j-a 



dieser Wei^th der Nulle liegt, desto rascher ist die Approximation. Von zwei Geraden: 



y=±a^{x 



Punkte X - 





und y 



± {a-^-^o..^ fe— f), welche die Abscissenaxe in einem und demselben 





schneiden, mit ihr aber ungleiche AVinkel einschlicssen und bei welchen man, 

 von einem und demselben 9Eo ausgehend, einerlei Vei'fahron und AVerth 0' (et) anwendet, um 

 zum exacten AVurzelwerthe x = |^ zu gelangen, bietet die zweite, der der grössere AVinkel 



entspricht, die raschere Approximation. Der AA^erth des Bruches — — ; ist nämlich in diesen 



beiden Fällen beziehungsweise: 



0' 



a 



§' 



) 



0'—ia^ -f- a^) 



a-j-a 



? 



von diesen zwei Grössen aber offenbar die 



zweite kleiner als die erste, folglich auch bei der zweiten Gieichunof die Gonveri^renz eine 



-ö 



ö 



stärkere. Sic entspricht derjenigen Geraden, welche den grösseren Winkel luit der Abscissen- 

 axe einscliliesst, oder auch, der die grösseren Zahlwcrthe der Ordinaten entsprechen. 



Alle diese Bemerkungen, wiewohl hier nur für gerade Lhiien entwickelt, haben eine 

 allgemeine Geltung auch bei beliebig geformten krummen Linien. AVir wollen hier zunächst 

 nur die Veralliremeinerunö' der dritten Folo^erumr ableiten. 



*^ 



A sei eine beliebiö'C krumme Linie, welche in einem gewissen Bereiche der Abscisse x, 



der sich von x 









3£co erstreckt, fortan numerisch kleinere, aber mit demselben 



Vorzeichen versehene Ordinaten besitzt, als eine andere, gleichfalls beliebig gestaltete krumme 

 Linie i?, so zwar, dass in dem angegebenen Bereiche die Curve A. zwischen der Abscissenaxe 



und der zweiten Curve B liegt; ferner sollen diese zwei Linien A und B die Abscissenaxe in 

 einem und demselben Punkte a:=3£oo schneiden. Wählt man nun für beide Curven eine und 

 dieselbe Abscisse 3E^j als Ausgangspunkt des in Bede stehenden Approximationsverfahrens und 

 einerlei Werth von 0', so wird man zAvar bei geeigneter AA^ahl dieser letztgenannten Grösse 

 sowohl bei der Curve A als bei der anderen B dem Durchschnittspunkte a:=:9£oo fortwäh- 



r 



rend näher rücken; allein die Annäherung wird bei der Curve B eine viel raschere sein, weil 

 ihre Ordinaten numerisch grössere Werthe besitzen, als bei der Curve A. 



DerAVerth 0' muss numerisch grösser, mindestens gleich gewählt werden, als der grösste 



Werth, welchen der Ausdruck 



dy 

 dx 



innerhalb des Bereiches vonx=:9£o bis x^^oo bei den beiden 



Curven A und B anzunehmen vermag; das Vorzeichen von 0' aber ist jenem der Ordinaten 



dieser beiden Curven gleich zu setzen, wenn eine wirkliche Annäherung bezweckt werden soll. 



In Fig. 5 sei m ein beliebigej* Punkt der Curve v4, , dessen Abscisse zwischen BEq und der 



exacten Wurzel Xoo fällt. Man ziehe mq^ unter dem geeigneten Winkel, so dass taug mqp = 0' 



aa* 



y 



