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wird, q ist hier oflenbar der Punkt, zu dem man durch einmalige Anwendung des Approxi- 

 mationsverfahrens gehingt. Entspricht j9 der Abscissc 9c,, so gehört dem Punkte q die Abscisse 

 9c,^i an. Man könnte nun vom Punkte m aus in der Eichtung von p gegen s die Curve A 

 verzeichnen, würde aber dabei bemerken, dass sie fortwälirend oberhalb der Linie mq verläuft 

 und so weder diese trifft, noch in das Innere des Dreieckes mqp gelang t Dies ist 

 eine nothwendige Folge der in Bezug auf den Werth von (p' gemachten Annahme, dass der- 



in diesem Bereiche fähig ist, oder 



doch mindestens demselben gleichkomme. In der That selbst dann, wenn bei der Curve A 

 ^ im Punkte m R-erade den numerisch grössten Werth besässe und (!>' nicht grösser, sondern 



dx 



demselben gleich gewählt wäre, würde qm eine Tangente zur Curve A sein, und fortwährend 

 zwischen ihr und der Abscissenaxe verlaufen, da dann eben dort die Curve ihre Convexität 

 der Abscissenaxe zukehren muss, weil -— ein numerisches Maximum erreicht. Um so vielmehr 



^ dx 



findet dies dann Statt, wenn -— und 0' im Punkte m verschiedene Werthe besitzen. Aber auch 



^ dx 



die zweite Curve 5, von der verticalen Linie j9r aus nach der Eichtung ^.9.9 verzeichnet, muss 

 fortan oberhalb der Curve A^ also auch oberhalb der Geraden mq verlaufen und alle diesem 



r 



Stücke der Curve B angehörigen Punkte können nur im Inneren des Polynomes sqmr liegen. 

 Gesetzt nun, m wäre ein Punkt derselben und man ziehe von ihm aus die m'^' parallel zu mq^ 

 so fällt der Punkt q^ offenbar niemals zAvischen qj und q^ sondern ausserhalb dieses Intervalles 



zwischen q und s. 



Setzen wir nun voraus, der Punkt ^ entspräche der ursprünglichen Abscisse Xo, "^n sei der 



ersehene Punkt 



der Curve B. q und q^ sind nun offenbar diejenigen Punkte auf der Abscissenaxe, zu denen 

 die einmalige Anwendung des Approximationsverfahrens bei den beiden Curven A und B 

 führt. Bezeichnen wir ferner mit s den Durchschnittspunkt der beiden Curven A und B mit 

 der Abscissenaxe, dem also der cxacte Wurzelwerth als Abscisse angehört, so sind sq und sq 

 die beiden corrcspondirenden Felder x/, welche nach der einmaligen AnAvcndung bestehen. 

 Dem früher Bewiesenen zufolge ist sq>sq\ also der Fehler x; bei der Curve A grösser, als 

 bei der anderen J5. Diese Eelation bleibt aber dieselbe auch für die späteren Fehler, welche 

 nach mehrmaliger Anwendung des Approximationsverfahrens übrig sind. In der That stellen 

 sp und sp' in Fig. 5 die Wertlie von < für die beiden Curven J_, B dar, und setzen wir nun 



zugehörige Punkt der Curve A^ m" der mit einer noch grösseren Ordinate 



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7 



7 



wie in der Zeichnung ersichtlich gemacht ist, sj)'>sp' voraus, so sind sq und sq' die beiden 



Werthe von x\j^^ für diese zwei Curven und es besteht dem früher BcAviesenen zufolge zwischen 

 ihnen die Eelation: sq~:>sq\ Wir ziehen hieraus den Schluss, dass, wenn überhaupt irgend ein 

 Fehler x/, der nach ^maliger Anwendung des Approximations Verfahrens nocli übrig bleibt, bei 

 der Curve A grösser ist, als bei der anderen j5, dieselbe Eelation auch bei den Fehlern x'^j^^^ 



X ^^2 7 • • • • 



schon für t 



deren Stelleiizeigor t übersteigen, fortbestehen müsse. Da nun dieses Verhalten 

 1, und zAvar eben früher bcAvicsen wurde, so gilt daher die Eelation ganz allge 



1 



mein für jedes beliebige t^ und es unterliegt nun keinem Zweifel mehr, dass der nach gleicl 

 oft wiederholter Anwendung des Approximationsverfahrens übrig bleibende Fehler bei 

 der Curve li, welche die numerisch grösseren Ordinatcn besitzt, stets kleiner ausfällt, als 

 bei der mit den kleineren Orclinaten versehenen anderen Curve A, 



Von dem eben bewiesenen Satze lässt sich eine wichtige Anwendung machen, um die 

 Convergenz des Verfalircns bei einer krummen Linie zu beurtheilen. Fig. 6 stellt ein Bogenstüek 



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