n r m einer 



Aiiflosungsinetliodefilr algehraische BuGlistabengleichungen etc. 205 



Curvc y=if[x) vor, welclic die Abscissenaxe im Punkte o sehneidet. Um 



weniofstens annäliermii^^sweise 



nun das Gesetz der Approximation bei der Glcicliung'/(2: 

 zu finden, denken wir uns durch den Punkt o zwei Gerade o m' und o m derart gezogen, dass 

 sie die Curve zwischen sich einschliessen in dem ganze Bereiche von o bis zur Ordinate^ m. 

 Die Curvc orm besitzt in dem erwähnten Bereiche stets kleinere Ordinaten als die Gerade om 

 und folglich wird bei ihr die Approximation, welche vom Punkte p ausgehen soll, minder rasch 

 zur oxactcn Wurzel führen, als bei der Geraden om. Aus demselben Grunde aber wird die 

 Approximation bei der Curve orm viel rascher zum Ziele führen, als bei der unterhalb gelegenen 



', die durchaus kleinere Ordinaten besitzt. Der Grad der Convergenz bei der Curvc liegt 

 demnach in der Mitte zwischen denjenigen, welche für die sie einschliessenden Geraden om und 



' i^-clten und sich auf bekannte AVeise durch den constantcn Quotienten einer geometrischen 



om 



om 



Progression messen lassen. 



Wenn das Bogenstück orm der Curvc in seiner ganzen Ausdehnimg stets einerlei Con- 

 vexität oder Concavität besitzt, so lässt sich die Sehne om als die eine, die zum Punkte o 

 a-ezoö'cne Tano^ente om! als die zweite Gerade verAvendcn, um den Grad der Convergenz 

 annäherungsweise zu bestimmen durch jene bei geraden Linien. Denkt man sich nun den Punkt 

 m unbegrenzt dem Durchschnittspunkte o genähert, gewissermassen die Sehne in demselben 



*v. 



asse V 



erkürzt, als man sich mit dem Werthe £, dem der Punkt p entsprechen soll, der wahren 

 Wurzel nähert, so fallen offenbar zuletzt beide Eichtungen in eine einzige zusammen, nämlich 





. Es folgt hieraus, 



in jene der Tangente om', gegeben durch die Gleichung: y^r^f {xo. 

 dass im weiteren Verlaufe der Eechnung der Grad der Convergenz sich fortan demjenigen 

 nähert, welcher bei der im Durchschnittspunkte o tangirenden Geraden : y =f((X^){x—x^) statt- 

 findet, d. h. man erhält für unendlich grosse AVerthe von t: 



(9 



o 



X 



t-^u 



X, .q 



u 



wo q einen bestimmten und Constanten Zahlwerth besitzt, nämlich den Werth des Bruches^—, 

 für die Gerade om' die im Punkte o tangirt, d. h. den Grenzwerth, dem sich der Bruch 



für o-crren den Wurzelwerth Xoo convergirende x fortan nähert. Man sielit hieraus, dass 



die Reihe der successiven Fehler x'^ x\, x'^, im letzten Stadium immer mehr 



und mehr den Charakter einer geometrischen Progression mit einem Constan- 

 ten Quotienten annimmt, die der im Punkte o zukommenden Tangente eigen 

 wäre. Dielvrümmung der Curve, überhaux3t die Differentialquotienten Yonf[x) der zweiten und 

 der höheren Ordnungen haben auf den Gang der Approximation im Endstadium keinen Einfluss. 



/( 



0, deren 



Wurzel zwischen zwei Grenzen x^ und x, + A eingeschlossen ist, in folgender Weise verfahren 

 könne um von der einen Grenze sowohl, Avie von der anderen dem Avahren Wurzelwerthe stets 

 näher zu rücken: Man verschafft sich zuvörderst die Überzeugung, dass zwischen den beiden 



J 



Grenzen x^ und x^+ 1 wirklich nur eine einzige Wurzel (Jcr Gleichung/(x*) = liegt und die 

 erste derivirte Function/' (x) in dem ganzen Bereiche einerlei Zeichen besitzt und sich fort- 

 während im Wachsen oder im Abnehmen befindet. Tliezu eignet sich die von Fourier aufgestellte 

 Functionenreihe am besten. Man wird in dieselbe die zwei Substitutionen x^ und x^+ A anstatt 

 x ausführen und vermittelst der Avahrnehmbaren Zeichenwechselverluste beim Übergange von 



Avirklich nur ein 



/ 



f'{x) und/" (x) aber gar nicht durch Null 



-MWMöi-"" 



