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liindurchgelien und folglich aucli stets einci-lci Zciclicn behalten. Findet dies wirklich Statt, 

 so ist durch das unveränderliche Zeichen - 



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— Yonf" (x) auch bewiesen^ dass /' (x) 

 sich stets im Zustande des Wachsens oder Abnehmens befinde, und es sind somit alle erfor- 

 derlichen Bedingungen erfüllt, um mit voller Bestimmtheit das Zeichen und den grössten 

 numerischen Wertli von/' (x) innerhalb dieser Grenzen x^ und :r^ -f A anzugeben. Erthcilt man 

 nun der Grösse 0' eben diesen numerisch grössten Werth von/' (x) oder einen noch grösseren 

 und sein Zeichen, so wird auch das Approximationsverfahren selber convergent sein gegen die 

 zwischen x^ und :r^ + A liegende Wurzel .t, und es ist dabei gleichgiltig, ob man die Grenze x^ 

 oder die andere x^ ^ /S. als Ausgangspunkt für dieselbe wählt; beide führen in völlig beliebiger 

 Genauigkeit zum exacten Wurzelwcrthe von x. Der einzige Unterschied zAvischcn diesen beiden 

 Grenzen besteht nur darin, dass die über x liegende lauter zu grosse, die darunter liegende 

 andere lauter zu kleine Werthe liefert. Würde man daher beide Grenzen gleichzeitig als Aus- 

 gangspunkte wählen, so würde man stets zwei andere und nälicr an einander liegende Grenzen 

 ableiten können, zwischen denen fortan der wahre Wurzelwerth liegt. Dadurch wäre man in 

 die Lage A^ersetzt, über den erreichten Grad der Genauigkeit urtheilcn zu können. 



Der eigentliche Gang der Eechnung dabei ist folgender : Man substitairt den einen Grenz- 

 werth z. B. x^ anstatt x in das Gleichungspolynom P und dividirt das erhaltene Substitutions- 

 resultat ^^ durch den in der früher angegebenen AVeise bestimmten Wertli von (/*'; der hervor- 



xveliende Quotient 



nene liesultat: x. 



wird mit entgegengesetztem Zeichen zu x^ hinzugefügt und das so gewon- 

 - ist letzt ein P:enauerer Werth von x, der aber in der That zwischen x und 



^ 



x^. fällt. Man kann nun dieses Yerfahren beliebig oft wiederholen, indem man den eben erhalte- 

 nen irenaueren Werth abermals anstatt x substituirt, und das hervora'chende Substitutionsrcsultat 



wieder durch (P' dividirt und mit entgegenofcsetztem Zeichen zu x. 



^ 



■ö 



,, hinzufüp^t u. s. w. und 



wird dabei der exacten AVurzel im Sinne von x^ gegen x fortAvährend und beliebig näher rücken, 

 ohne sie je wirklich zu erreichen. Der so abgeleitete Wcvrth der Wurzel kann in der Form: 



(94) 



X 



T 



U 



u. 



u 



t # * • 



u, 



dargestellt werden, t ist hier die Anzahl der Wiederholungen des besprochenen Verfahrens 



^1? ^^2? ^h-) ' ' ' ' '^t siiid die jedesmaligen, mit entgegengesetztem Zeichen genommenen Quotienten 



; 



Avelche die angebrachte Corrcction vorstellen. Dem früher Bewiesenen nach convergirt diese 

 Beihe für ins Unendliche Avachsende t gagajx die wahre, zwischen x^ und x^.^ A liegende Wurzel, 

 ohne sie jedoch wirklich zu erreichen. Der bestehende Fehler x\ ist stets mit einerlei Zeichen 

 vorsehen. Die Fehler ir', x\, x'^^ x'^, .... sind die Glieder einer fallenden Eeihe, die sich beim 

 fortwährenden Wachsen der Stellenzeiger immer mehr einer geometrischen Progression mit 



Constanten Quotienten nähert, d. h. der Quotient 



X i+1 



convergirt beim Wachsen von t ins 



^'—f{x) 



Unendliche gegen eine bestimmte, zwischen und 1 liegende Zahl q^ welche den Werth 



besitzt, unter x die exacte Wurzel verstanden. Es folgt hieraus, dass die Glieder der ins Unend- 

 liche fortgesetzten Summe (94) gleichfalls jener einer geometrischen Progression mit dem 

 Constanten Quotienten q fortwährend näher kommen. In der That ist ein beliebiges derselben 



it,j^^ offenbar gleich der Differenz x 



^+y— 1 



x\^.^. Da nun bei einer geometrischen Progression die 



Differenzen von je zwei unmittelbar aufeinanderfolgenden Gliedern wieder eine geometrische 

 Progression mit eben demselben constanten Quotienten, nur mit einem anderen Anfangsgliede 



