Auflösttngsmethodefür algebraische Baclutabenglelcliungen etc. 



207 



bilden; so ist von den Grliedern u dargethanj dass sie im späteren Verlaufe einer geometrischen 

 Reihe mit dem constanten Quotienten ^ immer mehr sich nähern werde. Man hat: 



ti 



t-^v 



X. 



I 



t^v 



l^q) 



<(l-~2')-2'.-r 



Die bisherigen Bemerkungen gelten hier zunächst nur für numerische Gleichungen, lassen 

 sich aber leicht auf Buchstabengieichungen ausdehnen. Der einzige Unterschied besteht nämlich 

 darin, dass man noch auf den Werth der Grösse a Eücksicht zu nehmen und die hier gewisser- 

 massen nur für einen speciellen Werth von a eingeleitete Voruntersuchung, ob innerhalb der 

 beiden Grenzen x, und x,+ A nur eine einzige Wurzel der Gleichung F{xa)^=0 und keine 

 der zwei derivirten F (xct]^Q. F" (xa 



liegt, oder nicht, jetzt für eine ganze Eeihe von 



solchen Werthen von a, d. h. für ein ganzes Intervall von a einzuleiten hat. Findet sich ein 

 entsprechendes Interwall von a, in welchem diese Bedingungen innerhalb der Grenzen x^ und 

 a;^ f A immer erfüllt bleiben, so kann man, von einem oder dem anderen Grcnzwerthe aus- 

 gehend, in der eben angegebenen Weise der cxacten Wurzel ^ (a) beliebig nahe kommen, wenn 

 man nur das angegebene Verfahren hinreichend oft wiederholt. Man erhält hier wieder eine 

 Reihe ähnlich der (94), mit dem einzigen Unterschiede, dass alle darin erscheinenden Glieder 

 x^j u^j ztg, Functionen von a sind. Die Grössen u sind Brüche mit einer Potenz von 0\ 



a 



im Nenner. Es ist nämlich u^ 



^r 



0'{a) 



, also x^ 



u 



xr^'{a)~~^. 



([>' 



Diesen Werth hat man nun 



a 



anstatt x in das Gleichungspolynom F{xfi) zu substituiren, das Vorausgesetztermassen ein 

 Polynom vom Grade m ist, und wird somit ein Substitutionsresultat erhalten, das in Gestalt einer 



Bruches mit \<I>' {ci)Y als Nenner erscheint, und durch ■ 



m^ 



— — -— an2:edeutet werden maö:. Diesen 

 Ausdruck hat man nun durch (l)\a) zu dividircn und sein Zeichen in das entgegengesetzte zu 

 verwandeln und findet so: iL. = — tt — ^. In ähnlicher Weise ergibt sich % in der Gestalt: 



m- 



U,z 



[<?'(«)]"i'-+»*+ 



-, ferner ic. 





mi 



ivnv ^^ 6 , ~, — r alli^'emcin iL 



m 



t 



['f>'(a)]'«*-H^«*-^+ 



Die solcher 



• 4 



r 



Gestalt erscheinende Reihe (94) convergirt in dem untersuchten Intervalle von a jedesmal 

 gegen die zwischen x,^ und ^,. + ^ liegende Wurzel ^ (a 



Diese Entwickclungsweise der Wurzel ^ (a) ist durch die in §. 4 dieses Abschnittes eingelei- 

 teten Untersuchungen vorbereitet. Es wurde dort gezeigt, wie man die bekannte, von Fourier für 

 numerische Gleichungen angegebene Methode, Grenzen für die Wurzeln zu findenj auch auf 

 Buchstabengieichungen in Anwendung bringen könne, um zur isolirenden Gliedersumme 2: 

 eine ZAveitc Grenze a;^-)- A zu finden, welche die cxacte AVurzel in einem Bereiche von a 

 zwischen sich einschliessen. Für den gegenwärtigen Zweck braucht man nur noch darauf zu 

 achten, dass die derivirten Gleichungen F'{x^a) -.0, F"{x^a) = innerhalb dieser Grenzen für 

 x und a keine AVurzel besitzen, so dass die Functionen F'ixp) und F"{xp) stets einerlei A^or- 

 zeichen tragen, mit anderen AVorten, dass die Indices dieser zwei Functionen in den Reihen 

 (84) gleich Null werden, während die Hauptfunction F[xß) den Index 1 besitzt. Es wird 



durchaus kein anderer, sondern 



dadurch der Ganii* d 



er dort angegebenen Untersuchung 



höchstens das Intervall von a den neu hinzugetretenen Bedingungen gemäss etwas kleiner. 

 Hat man dieses Intervall von a mit genügender Genauigkeit ermittelt, für welches innerhalb 

 der Gren 



zen x^ und x^+ A die Indicesreihe in (84 



mit 0, 0,1 schlicst, so ist das hier 

 besprochene Verfahren geeignet, eine convergirende Reilie für x zu liefern, nämlich die (95); 

 es ist nur nothwendig für (l)'{ci) das Substitutionsresultat ^ ^ oder das andere Cl',. zu erwählen, 



