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Ignaz Heger. 



je iicaehdcm a;, oder x,+ A die äussere Grenze vorstellt, d. h. je nachdem "^'^ und ^\ gleiclie 



oder ento-eöfcnö-csetzte Zeichen besitzen. 



8. 



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4 



^1 

 j, 



F 



Das hier auseinandergesetzte Verfahren unterscheidet sich einigcrmassen von dem in den 

 früheren Abschnitten zur Entwickelung der Folgeglieder angegebenen. Die dort gegebene 

 Regel schreibt nämlich wohl genau so, wie die hier aufgestellte, vor, den bereits entwickelten 

 Bestandtheil der Wurzel anstatt x in das Gleiclmngspolynom zu setzen, hierauf das erhaltene 

 Substitutionsresultat durch einen unverändert bleibenden Ausdruck zu dividircn und den 

 Quotienten mit entgegengesetzten Zeichen dann als Correction zum früheren Bostandtheile der 



Q 



ö 



o-liedc, während Her sein vollständiger und unentwickelter Werth genommen wird. Aus diesem 

 Grunde mitcrsclieidet sich auch die hier abgeleitete Reihe (9i) von der dort erhaltenen 

 geordneten und zwar vorzüglich dadurch, dass die Glieder u derselben Brüche sind von der 

 Form ^,wo W. und ^' ia) geschlossene Polynome vorstellen. Man kann aber die Reihe 



[(P'(a)]P 



(94) gleichfalls geordnet nach Potenzen von a hinstellen, wenn man jeden dieser Brüche in 

 eine unendliche Eeihc entwickelt und alle solchen addirt. Die Summe derselben ist eine nach 

 Potenzen von cc geordnete unendliche Reihe , die von der durch unmittelbare und geregelte 

 Entwickelung abgeleiteten anderen: 



(95) 



X 



K^iO^^""^' 



Ä,+2^6^''+' + ^^,.+ 3«^^+^ 



offenbar nicht verschieden ist, wie man sich leicht überzeugen kann. Es lässt sich nun auch 

 leicht bcurtlicilen, ob dieselbe convergent oder divergent ist. Bekanntlich convergirt nämlich 

 die absteigende Entwickelung eines Bruches, dessen Zähler und Nenner geschlossene Poly- 

 nome sind, für alle jene Werthe der darin erscheinenden Buchstabengrösse a, deren Modulus 

 grosser ausfällt als der grosste Modulus derjenigen Wurzclwerthe a, welche den Nenner auf 

 Null bringen. Setzt man also den Nenner des Bruches gleich Null und sucht die mit dem 

 o-rössten Modulus versehene Wurzel derselben vermittelst der verbesserten Methode von 

 Gräffe, so bestimmt eben dieser grösste Modulus A die Intervalle von a, in welchen die Ent- 

 wickclungswcise convergirt. Diese reellen AVerthe von a liegen nämlich in den beiden Inter- 

 vallen : — oo — A n.nd -{- A + oo. Will man hingegen auf st eig en d nach Potenzen 



so -findo,t rbV, nonv^ro-nnr, jS+off für alle lenc Wcrthe von «. deren Modulus 



von a entwickeln, so findet die Convergenz Statt für alle jene 



kleiner ist als der kleinste Modulus unter den Wurzeln, welche den Nenner auf Null bringen. 



Die reellen Intervalle für a sind somit: — A .... und . . . . + A, und A bedeutet jetzt den 



H 



kleinsten Modulus, der bei den Wurzeln der Gleichung vorfindig ist, welche durch Null- 

 setzen des Nenners hervorgeht. Im gegenwärtigen Falle, wo alle in Betracht kommenden 



Nenner Potenzen von 0' {a) sind, wird man daher nur die Gleichung (J/ (a)^=0 zu berücksich- 

 tio-en und den ^rössten oder kleinsten Modulus ihrer Wurzeln zu bestimmen haben, je 

 nachdem man die absteigende oder aufsteigende Entwickelung vorliegen hat. Der auf 

 solche Weise gefundene Werth A ist massgebend bei allen die Convergenz der Reihen 



betreffenden Fragen. 



Setzen wir, um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, voraus, die Reihe (94) sei 



absteigend entwickelt und die vorhergehende Untersuchung hätte erwiesen, dass die andere 



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