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-a^ und 



a 



« 4 ft 



+ cxD convergire g^ig^'n 



Eeilic (94) für die beiden Intervalle: — oo . 

 die zAvisclien x^ und x.^, + A liegende AVurzel (p{a). Ferner sei A der grösste Moduliis der Wur- 

 zeln der Gleiehung d)' [a). Man kann nun damit beginnen, die einzelnen Glieder u der lieilie 



(94) , die Brüelie sind von der Form : - — -^ abstcio-end in eine Reihe zu entwickeln. Jede dieser 



. — A und + A . . . . + oo. Iln-e 



oo. . . 



Eeilicn ist convergirend für die beiden Latervalle — 

 Summe zu x^ liinziigefügt fübrt nun, Avic früher bemerkt worden, zu einer unendlichen Reilie, 

 Avelche in iln-en r+ t Aufangsgliedern mit der Reihe (95) übereinstimmt. Auf eine ähnliche Weise 

 läöst sich der andere Grenzwerth x,.-La als Ausgangspunkt benützen und aus ihm durch t — 

 malige Wiederliohing des Approximationsverfahrens ein Werth: 



T 



L 





96) 



x^ --h A + 0-^ -\- v.^ + Vu 



+ v, 



ableiten, dessen Glieder v o-Ieichfalls Brüclic sind von der Form 

 für die Intervalle — 



9? 



und die sich demnach 



oo 



[(P\a)\v 



oo iu convergircnde Reihen absteigend 



nach a entwickeln lassen. Ordnet man diesen Ausdruck (96) absteigend, so liegt eine zweite 

 unendliche Reihe vor, die mit der (95) gleichfalls in r 



t Anfangsgliedern übereinstimmt. 



Man hat solchergestalt aus den zwei Werthen x,. und :r^ + A zwei neue Werthe (94) und 



t Anfangsgliedern 



mit dem "wahren 



9 * « » 



(96) abgeleitet, die absteigend entwickelt in ihren ? 



Wurzelwcrthe (95) übereinstimmen, für die Intervalle 



convergircnde Reihen darstellen, und für die Intervalle 



die Avahre Wurzel (p {a) zwischen sich einschliessen. Für jene AVcrthe von a, welche gleichzeitig 



oo 



OQ 



A und 



«2 und 



A 



a 



den beiden Intervallen: 



oo 



A und 



oo 



ßo oder den beiden anderen: 



"j~ J^ . . . . 



i 



oo 



und 



oo 



"O 



und (96) eingeschlossen, die in ihren r^t 



zwei convergircnde unendliche Reihen 



Anfangsgliedern mit einander und mit der (95) übereinstimmen. 



Denkt man sich nun t ins Unendliche wachsend, so werden die beiden Reihen (94) und 

 (96) unbegrenzt gegen einander convergiren und zuletzt zusammenfallen. Die (95), welche 



lann von ihnen nicht mehr differirt, ist folglich für eben diese Intervalle von a convergent. 



Man wird daher die Intervalle von a, für welclie die absteigend geordnete Entwickclung 

 (95) gegen die exacte Wurzel <p{a) convergirt, finden, wenn man untersucht, welches der 

 beiden Intervalle — oo . . . . — a.^ und — oo . . . . — A die kleinere Ausdehnung besitzt, und 



dieselbe Untersuchung auch bei den beiden anderen 



oo 



und -f A . . . . -[- 



oo 



einleitet. Die gefundenen zwei Intervalle von der geringeren Ausdehnung enthalten nur solche 

 Werthe von a, für welche die Reihe (95) gegen <f{a) convergirt. 



Bei der aufsteigend geordneten Entwickclung gelten genau dieselben Vorgänge mit 

 dem einzigen Unterschiede, dass unter A der kleinste Modulus der Wurzeln der Gleichung 

 0' {a) zu verstellen ist, und die in Vergleichung kommenden Intervalle: — a^ .... 0, ....-[- a^. 



A....0, 0.... + A sind- 



Auch hier enthalten die zwei mit der kleinsten Ausdehnung 

 versehenen Intervalle, deren eines lauter negative, das andere aber lauter positive Wertlie in 

 sich schliesscn wird, nur solche Werthe von a, für welche die aufsteigend geordnete Reihe 

 (95) gegen (p{a) convergirt. 



Aus dem bisher Erwiesenen geht also klar und deutlich hervor, dass die früher gelehrten 

 Entwickelungen selbst dann noch, wenn sie zu unendlichen Reihen führen, vollkommen 



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^gerechtfertigt erscheinen, und man ist stets in der Lage, sowohl den Grad der erreichten 



Deukschriffen der inathom.-ii'aturw. Gl. XIIT. Bd. Abhandl. v. XicMmitgl. 



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