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Ignaz IlGge7'. 



Genauigkeit anzugeben, als auch die Intervalle von a zu bestimmen, für welclie diese 



unendliclien Keilien convergiren. 



Bricht man die Eeihe willkürlich bei einem Gliedc ab, vorausgesetzt, dass man dieselb 



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Bestimmung des Ergänzungsgliedcs a genau so verfahren, als wenn man zur entwickelten Glie- 

 dersumme ;r^noch ein ferneres Entwickelungsglicd K^^a^'^'n hinzufügen wollte mit dem einzigen 

 Unterschiede, dass man den numerischen Wertli von \.j^^ um eine beliebige Grösse 6 erhöht. 

 Hätte man dieEntwickelung schon weiter fortgeführt, so zwar, dass mit einem einzigen Schritte 

 eine Gruppe von mehreren Folgeglicdern erhalten werden kann, so wird man mcistentheils 

 gut thun, dieselben vollständig zu bilden, da dies einen geringen Mehraufwand von Eechnung 

 erfordert, und dann auf diejenige Weise zur Bildung des Ergänzungsgliedes A schreiten, wie 

 dies zu Ende des §. 2 dieses Abschnittes ausführlich angegeben wurde. Nun bleibt noch übrig, 

 die Intervalle von a zu suchen, für welche dieses Ergänzungsglied giltig ist, und zu diesem 

 Ende entweder die in §. 3 oder in §. 4 auseinandergesetzte Methode anzmvenden. Diese Inter- 

 valle erstrecken sich bei der absteigenden Entwickelung bis zu den unendlichen AVerthen 



oo, bei der aufsteigenden aber gehen sie A^on aus in der Doppelrichtung 

 vor. Hat man diese Intervalle, deren stets zwei zu untersuchen sind , mit Innläng- 



oo 



un 



und 



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lieber Genauigkeit bestimmt, so ist diese erste Frage erledigt. 



Soll aber entschieden werden, für welche Werthc von a die ins Unendliche fortgesetzte 

 Eeihe convergirt, so muss die Entwickelung der betreffenden AVurzel hinlänglich Aveit fort- 

 gesetzt w^erden, und zwar so lange, dass die Gliedersumme :r, Avcder einer Wurzel der derivirten 



Gleichung F' (x, a 



noch der anderen 1^ 



%:, ^:' und ^ 



iX/. Cv 



= u. s. w. mehr angehört, kurz dass die 



die Bestimmung des Ergänzungsglicdes A und jene des entsprechenden Intervalles von a vor- 

 zunehmen, in der eben angedeuteten Weise mit dem einzigen Unterschiede, dass noch über- 

 dies bei der Bestimmung des Intervalles von a darauf Eücksicht genommen werden muss, dass 



die Functionen F" (x.a) un 



d.F' 



X, a) innerhalb der Grenzen x, und o;^ + A und in der ganzen 

 Ausdehnung des Intervalles von a ihr Vorzeichen nicht ändern; kurz dass den zwei Substi- 

 tutionsreihen (84) stets 0,0,1 als die letzten drei Indices in der entsprechenden Indicesreilie 

 angehören. Sind alle diese Vorarbeiten vollendet, so hat man nur noch von den beiden Grenzen 



und Fix^a) gleiche 



x^ und X 



A die äussere zu suchen, d.h. jene, für welche F" (x^a 



%!' und ^ 



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ist somit x^ die äussere Grenze, so setzt 



^^ 



Statt, haben also D/' und £l, gleiche Zeichen^ so hat man 0,'= zu setzen. Für die so erhal- 

 tene Gleichung ^V = <=*der £i;^^0 sucht man nun den grössten oder kleinsten Modulus 

 A der mit demselben versehenen Wurzel, je nachdem die absteigende oder aufsteigende 



g vorliegt. Ist der Werth von A annähcrung 



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ZU untersuchen, ob die W 



:rthe — A und + A in den für das Ergänzungsglied A ermittelten 

 Intervallen von a enthalten sind oder nicht. Sind sie darin nicht enthalten, so ist die unend- 

 liche Reihe in dem vollen Intervalle von a convergent; findet sich aber der Werth A darin vor, 

 so muss man ihre Ausdehnung so weit verkleinern, bis sich derselbe niclit melir darin vorfindet, 

 und hat dann ivicder zAvei Intervalle von a, für welche die unendliche Reihe jedenfalls convergirt. 



Es ist Avohl überflüssig zu bemerken, dass man diese Intervalle von a jedenfalls zu enge 

 und überhaupt bald grösser, bald kleiner finden Avird , je nachdem die Gliedersumme x, eine 



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