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grössere oder kleinere Anzahl von Enhvickclungsgliedern in sich schlicsst. Für das praktische 

 Bediirfniss sind auch zunächst nur diese "Werthe von a vom Belange , für welche die Conver- 

 genz eine raschere ist, während die an der Grenze der Convcrgenz stehenden Werthe von a 

 ohne wesentlichen Nutzen bleiben. Man kann ferner die Gleichungen ^/ = oder Ü/— 



\^ 



durch andere ersetzen auf unendlich viele verschiedene AVeiscn, denn die mit 0'(a) bezeichnete 



Q....^ zu enuuen, dasselbe Zeichen wie ^/ und Q/ aber einen 



Function hat nur die Bedingung zu erfüllen 



numerisch grösseren WertJi zu besitzen und kann im Übrigen ganz beliebig gewählt werden, 



wenn sie nur diesen Bedingungen wirklich für alle in den betreffenden Intervallen liegenden 



Wertlic von a Genüge leistet. Von der Auflösung der Gleichung ^Z = oder D; = oder 

 0' = O kann man sich aber nicht dispensirenj wiewohl die bei der Bestimmung des Ergän- 

 zungsgliedes A und der giltigen Intervalle von a eingeleitete Untersuchung dargethan hat, 

 (hiss keine reelle Wurzel dieser Gleichungen einen dazwischen fallenden Werth von A liefern 

 könne, denn der massgebende Werth A könnte von einem Paare imaginärer Wurzeln herrühren 

 und alsdann übersehen werden. 



I 



. 9. 



Bisher wurde nur jene Approximationsmethode berücksichtigt, bei welcher in der Glei- 

 chung (87) die Function F ' {x ,^, -^\- px\ a) für den ganzen Verlauf der Ecchnung stets durch eine 

 und dieselbe Function 0\a) ersetzt wird. Dieses Verfahren liefert die EntAvickelungsglieder 

 nur einzeln und war für uns zunächst aus dem Grunde von Interesse, weil sie zur Beurthei- 

 lung der Convergenz der liervorgehenden Eeihen am besten sich eignet. Man kann aber aucli 

 noch in anderer Weise vorgehen und die Function F' {x.-^-px'^a) bei jedem Schritte des Appro- 

 ximationsverfahrens durch eine stets neue Function ersetzen, die ihrem wahren Werthe fort- 

 während nachrückt. In dieser AVeise pflegt man bei den numerischen Gleichungen vorzugehen. 

 Auch bei Buchstabengleichungen ist diese Methode anwendbar und liefert dann bei hinländich 



nur niimcr em einziges 



Aveit fortgeschrittener Entwickelung mit einem einzigen Schritte nicht 

 richtiges Glied, sondern eine ganze Gruppe von solchen. Das Verfahren selbst wurde schon 

 in der vorhergehenden Abhandlung §.15 und §. 22 auseinandergesetzt; hier aber werden wir 

 dasselbe von einem viel allgemeineren Gesichtspunkte ableiten und uns überzeugen, dass die 

 dort bemerkte Eigentliümlichkeit und Gesetzmässigkeit eine unmittelbare Folge der linearen 

 Approximationsmethode sei und überall auftaucht, wo man dieselbe anwendet. 



Gehen wir von der beim dritten Gliedc abgebrochenen Entwickelung A^oni^(:r, + x',a) aus: 



(97 



F{x 



T 



x , a 



F(x^. a 



x' . F' 



x^, , a 



,x'^F" {x^-^ px' ,a) 



in der wieder x^,+px' eine zAvischen x^ und (f [a) fallende Mittelgrösse ist, und bilden wir durch * 



gleich Null Setzen dieses Ausdruckes die Gleichung: 



(98) 



F{x,. , a) 



■// • X t Jü^ t, Cl> 



x'\F"{x^^px' ,a) 







Dieselbe ist erfüllt, Avenn man anstatt x' seinen exacten Werth <p{a) — x^ setzt. Beim 



We 



nicht, sondern begnügt sich mit der Auflösung einer Gleichung des ersten Grades, die hier die: 



(99) 



F{x, ^ a) ^uF'{x^ ,a) = 



bb* 



h 



