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Ignaz Heger. 



sein mag 



Sic ist von der riclitigon dadurch verschieden, dass F ' {x^^ a 



an die Stelle 



von F' {x^~^px,a) gesetzt wird, und es wurde dcsshalb auch die in ihr erscheinende Unbe- 

 kannte zum Unterschiede von x mit u bezeichnet. Man zielit aus ihr den AVerth : 



(100) 



t 



u 



F {xq^ , a) 

 F' (xr , a] 



\ 



4 



welcher von der richtigen Correction d verschieden ausfällt und zu x^ hinzugefügt den Aus- 

 druck X,. + u liefert, der abermals von dem exacten Wurzelwerthc (p{et) differirt und einer 

 ferneren Correction x" bedarf. Dieser Vorgang wurde von Newton angewendet, unterliegt 

 aber dem Übelstande , dass man nur unter gewissen Bedingungen sich dem wahren Wurzel- 

 werthc <p{a) fortwährend nähert, in der Mehrzahl der Fälle sich aber davon entfernt. Diese 

 Bedingungen sind von Fourier zuerst genau angegeben worden. Es folgt hieraus, dass die 

 auf diesem Wege gefundenen unendlichen Reihen bisw^cilen gegen (p{ci) convergiren, sehr 

 oft aber divergiren oder gegen eine andere Wurzel convergiren. Hier, wo noch überdies 

 eine Buchstabengrösse a erscheint, ist dieses Verhalten der ßeihe für verschiedene Wcrthe 

 von a ein verschiedenes. Wir haben aber die auf die Convergenz oder Divergenz Bezug 

 habende Frage bereits beantwortet und wollen hier einen anderen Punkt erörtern. 



Denkt man sich in der Glcichug (98) x durch den gleichgeltenden Werth u + x" ersetzt 

 und dabei auf die Relation (99) Rücksicht genommen, so erhält man: 



(101 



folglich 



102 



F' 



r • '.'/ J • •-t-' 



.// 



-*> 



— F"{:t^ + px' ^a).x'^ 



0, 



x 



ff 



F" Ur + px' , a) ^ ,.^ 



2F'{xr, a) 



Man kann jetzt voraussetzen, die Entwickelung der Gliedersumme x^. sei so weit vorge- 



von allen Wurzeln 



schritten, dass sich dadurch die Wurzel ^ (a) der Gleichung i^(x, a) = 

 der zwei derivirtcn Gleichungen: F'{x,a) = und .F"(x, a) = unterscheidet, denn jene 

 Fälle, bei welchen man s(ilbst bei der ins Unendliche fortgesetzten Entwickelung gar nie zu 

 diesem Punkte gelangt, weil in den zwei Functionen F{x,a), F' {x, a) oder in den beiden 



ein x enthaltender Factor öremeinschaftlich erscheint, Avird man 



anderen F{x^ a), I 



wXym Cv 



ohnehin, sobald man sie als solche erkennt, alsogleich durch Sonderung und gleich Null 

 Setzen dieser Factoren viel leichter behandeln. Die unmittelbare Folge dieser Voraussetzung 

 ist, dass die Anfangsglicder der beiden Substitutionsresultate F' {x,, ci) und F" {x,-^px' ,c() voll- 

 kommen bestimmt sind und auch im weiteren Verlaufe der Rechnung, beim Zunehmen der 

 Gliederzahl r ungeändert bleiben; namentlich ist das Anfangsglied des unbestimmten Substi- 

 tutionsresultates F' {x^'\^px^ a) genau dasselbe, wie bei dem bestimmten F"{x^,a). Dass dem 

 wirklich so sei, ist leicht einzusehen, denn würden hinzugefügte Glieder einer späteren Rang- 

 ordnung noch auf die Anfangsglicder der aus F' {x,et) und F" {x,et) hervoro'chcndcn Substi- 



tutionsresultate einen Einfluss nehmen, so müsste demnach auch durch eine zAveckmässige 

 Wahl dieser hinzugefügten Glieder eine Reduction auf Null in den Anfano-sgliedcrn der Sub- 



ö-'ö 



stitutionsresultate herbeigeführt werden küiinen, und folglich x,, der gemachten Voraussetzung 

 zuwider, einen Bestandtheil der geordneten Entwickelung einer Wurzel der derivirtcn Glei- 

 chungen darstellen. 



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