AuflösungsmetliodefUr algehraisclie Jhtchstabengleicliungen etc. 



213 



Bezeiclincn wir nun die unveränderlichen Anfangsglieder der Substitutionsresultate, die 



*Ay« Cv 



aus F' {x.; a) und F" 



glied von x' aber mit li^j^ia^"-^^ 



von x" in folgender Form: 



[2^^^' und f) 



'/' 



W 



a 



3L^ 21 



^' SO findet man aus der (102) das Anfangsglied 



X 



tf 



1 %>r' ^ " 



'/ 



§> 



3 



a 



9U/" — 3Sl7i' + 2 5>Ir 



• 4 



Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass die am Ausdrucke x^,-^ u noch nothwendige 



Corrcction x" nur bei dem mit dem Exponenten 51^' — 3 51/ + 231^ versehenen Gliede und den 

 darauffolgenden ausgofiilrrt werden müsse, alle vorhergehenden aber ungeändcrt bleiben. Ent- 



wickelt man daher den Quotienten u 



-—^ — in eine s-eordneteEeihe, aber nur bis exclu- 



F ' (xr , a) 



3 2i; 



2 21^ besitzt, so hat man eine Gruppe 



sive dem Gliede, welches den Exponenten 21^" — 

 von lauter richtio:en P''olo'eo-lledcrn, an denen keine Correction mehr anzubringen ist. Diese 



, findet aber hier ihre eigentliche und allgemeine 



Eigenschaft wurde schon früher bewiesen 

 Begründung. 



in. Bestimmung der Asymptoten Lei Curven von einfacher Krümmung. 



§• 10. 



Es gibt wohl kein gceigiieteres Mittel, um analytische AVahrheiten zur klaren Einsicht zu 

 brino-en, als Cfcometrische Betrachtun£>'em Dieses Mittel leistet auch hier wesentliche Dienste 

 und verbreitet über das Auseinandergesetzte ein helles Licht. Wir haben schon im Vorher- 

 gehenden von diesem Mittel zu wiederholten Malen Gebrauch gemacht. Hier finden wir es 

 noch für zAveckmässig, eine Anwendung der hier erörterten Auflösungsmethode auf ein Pro- 

 blem der analytischen Geometrie in Kürze zu erwähnen. 



Eine jede Buchstabengloichung mit nur zwei Buchstabengrössen hat eine geometrische 



Bedeutung. Denkt man sich nämlich die unabhängige Grösse a als Abscisse, die abhängige x 



decken. Die absteigende Entwickelung der Wurzeln, 



als Ordinate eines Punktes auf der Ebene, so entspricht der Gleichung selber eine krumme _ 

 Linie von einfacher Krümmung. Allein auch alle hier erwähnten Auflösungsmethoden erlialten 

 eine geometrische Bedeutung, indem sie gewisse Eigenschaften dieser krummen Linien auf- 

 weiche vorzüglich für sehr grosse 

 Wertlie der Grösse a sich als massgebend erwiesen hat, gibt Aufschluss über den Verlauf 

 der Curve im Bereiche sehr grosser Abscisscuwerthe. Die Bestimmung der Anfangsglieder für 

 diese Entwickelungsform liefert die Asymptoten der Curve im Bereiche unendlich grosser 



li^a^' zwar nicht den zAvischen x 

 rmd a stattfindenden Zusammenhang genau aus, aber unter allen Gleichungen von dieser 

 einfachen Form x^=lia^ ist sie diejenige, welche für ins Unendliche wachsende oder abneh- 

 mende a, d. h. für a= ± cx) der Wahrheit am nächsten kommt, denn jede noch so kleine am 



Abscissen. In der That drückt die einfaclie Gleichung x 



Exponenten c^ oder dem Cocfficienten ä^, angebrachte Änderung vergrössert den Werth des 

 Substitutionsresultates ^^o ^^^ a= ±oo, wie im Vorhergehenden ersichtlich ist, und vermehrt 

 daher die bestehende Unrichtigkeit. Dehnt m;m daher den Begriff der Asymptoten aus auf 

 solche einfache Curven, die die Eigenschaft besitzen, im Bereiche des Unendlichen dem wirk- 

 liehen Curvenaste so weit nahe zu kommen, dass eine fernere Annälierung nur durch Grössen 



