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Ignaz Heger. 



niederer Ordnungen herbeigefülirt werden kann, olmc dabei die Eigenschaft der unbegrenzten 

 Annäherung der Asymptote gegen den Curvenast als eine wesentliehe mit in den Begriff auf- 

 zunehmen; so fülirt die Bestimmung der Anfangsglicder bei der absteigenden Entwickelung 

 zu den Asymptoten der Curve, die im Bereiche unendlich grosser Abscissen liegen. Sie lassen 

 sich in drei Kategorien theilen, je nachdem in der asymptotischen Gleichung: 



X 



Iiq a ^0 



der Exponent ^^ positiv^ gleich Null oder negativ ist. Die mit positivem ^^ versehenen 



Asymptoten sind parabolisch oder geradlinige und zwar, wenn Co>l ^^^7 ^'^^^^ dieselben 



)' 



1 o-erade Linien, die mit 



Parabeln höherer Ordnungen mit der Abscissenaxe als Axe; für Cü = 



der Abscissenaxe einen AVinkel einschliessen, dessen trigonometrische Tangente Iiq ist, gewisser - 



massen eine Parabel der ersten Ordnung; endlich, wenn ^^ zwischen 1 und liegt, abermals 

 Parabeln der zweiten oder höheren Ordnungen, denen jedoch die Ordinatenaxe als Axe ange- 

 hört. Alle diese Asymptoten der ersten Kategorie haben die Eigenschaft, dass mit derAbscisse 



auch die Ordinate ins Unendliche wächst. 



Die mit q, = versehenen Asymptoten stellen eine zur Abscissenaxe parallele 



Gerade dar. 



Die mit negativem ^^ versehenen Asymptoten sind Hyperbeln der ersten oder einer 



eren 



Ord 



nung 



welche sich beim fortwährenden Wachsen der Abscissenaxe unbegrenzt 



höh 

 nähern. 



Entwickelt man die betreffenden Wurzeln in mehreren Anfangsgliedern x,. und namentlich 

 so weit, bis man mindestens alle mit positiven Werthen von c, den gleich Null mit einbegriffen, 

 erschöpft hat, so dass nur die mit negativen Exponenten versehenen Folgeglieder unentwickelt 

 bleiben, so erhält man die Gleich ungen der A s y mp t o t e n im engeren Sinne d c s W o r t e s, 

 d. h. die Gleichungen jener von der Curve selbst differircnden Linien, welche die Eigenschaft 

 besitzen, sich dem betreffenden Curvenaste beim fortwährenden Wachsen der Abscisse unbc- 

 grenzt zu nähern, ohne wirklich zusammenzufallen. Diese Entwickelungsweise aller mit posi- 

 tiven c und dem c = versehenen Glieder ist insbesondere dann massgebend, wenn die 



Anfangsgleichung die folgende Avar : x 







Ä,ja, also wenn c 







b 



1 ist und w^enn dieses Anfangs- 



glied zweien oder mehreren Wurzelu gemeinschaftlich ist, denn sie wird daim zur Entschei- 

 dung bringen, ob das nächste Folgeglied li^a^' einen positiven und gebrochenen oder 

 den Werth if^=:0 oder einen noch kleineren besitzt. Ist f^ gebrochen und positiv, in 

 welchem Falle eine Gruppe von zweien oder mehreren Wurzeln diesen Werth von f^ besitzen 

 muss, so bedeutet die Gleichung x^=^h^^a ^h^a^' offenbar eine Parabel, deren Axe eben die 

 Gerade 2; = A^a ist und mit derAbscisse einen Winkel einschliesst, während im entgegen- 

 gesetzten Falle: Ci = die Asymptote wirklich eine Gerade ist und bleibt, nur dass sie nicht 

 mehr durch den Anfangspunkt hindurchgeht, sondern zur früheren x-:=^h^a parallel jetzt die 

 Ordinatenaxe in einer Entfernung h^ vom Anfangspunkte schneidet. 



Die Asymptoten im engeren Sinne des AVortes lassen sich daher in drei Glassen 

 eintheilen: 



1. parabolische, und zwar erstens mit einer zur Abscissenaxe parallelen 

 Axe, wenn «f^j positiv und grösser als Eins ist, zweitens mit einer schief stehenden 

 Axe. wenn <f ^ = 1 und fj gebrochen positiv ist, drittens mit einer verticalen Axe, die 



; 



zur Ordinatenaxe parallel ist, wenn |^o positiv und kleiner als Eins, somit gebrochen ist. 



*^-. 



