Auflo-'sungsnietliocle für algebraische Buclistabengleicliimgen etc. 



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2. Geradlinige, und zwar bald horizontale, bald schiefe, je nachdem ^o = ^^^"^ 

 := 1 und 1^1 ^0 ist. Zu den horizontalen geradlinigen Asymptoten können füglich auch jene 

 gerechnet werden^ deren Co einen negativen AVerth besitzt, wenn man annimmt, dass dem 

 Gliede /^oa^o noch ein verschwindendes Glied lia^ vorangeht, in Avelchem Ä r= ist, und 



bedenkt, dass sie nur einen speciellen Fall der horizontalen geradlinigen Asymptoten dar- 

 stellen, denjenigen nämlich, wo sie mit der Abscissenaxe zusammenfallen. 



3. Hyperbolische. Diese können jedoch im Grunde nicht als eine eigene Classe darge- 

 stellt w^erden , sondern erscheinen viclmeln^ als die weiter getriebene Annäherung der gerad- 

 linigen Asymptoten. Sie können entweder die Abscissenaxe selber oder eine zu ihr parallele, 

 oder endlich eine schiefe Gerade als Asymptote besitzen. 



Bei allen Asymptoten müssen die Cocfficicnten A, die darin erscheinen, reelle Zahl- 

 werthe haben, weil nur in diesem Falle ihnen eine geometrische Bedeutung zuerkannt werden 

 kann. Imaginäre AVcrthe der Coefficienten h in den asymptotischen Gleichungen deuten 

 vielmehr darauf hin, dass die entsprechenden Aste der Curve im unendlichen Bereiche der 

 Abscissen nicht mehr erscheinen und in diesem Sinne die Curve eine geschlossene sei. 



Will man ferner nicht der Gefahr ausgesetzt sein, reelle Asymptoten für imaginäre Curven- 



äste zu finden und solcher^'estalt in Beziehung 



des Geschlossen- oder Niehtgeschlossenseins 



der Curve in einen Irrthum zu gelangen, so ist man genöthigt, die EntAvickelung der Wurzeln 

 selbst über die Anfangsglieder und über die mit positiven Exponenten f und dem speciellen 

 fr=:0 versehenen Glieder hinaus fortzusetzen, sobald eine Gruppe von mehreren Wurzeln diese 

 Glieder gemeinschaftlich besitzt, und zwar so lange, bis die vollständige Isolirung der ein- 

 zelnen Wurzeln dieser Grup]K' erfolgt oder die völlige Gleichheit der nicht trennbaren erwiesen 

 ist, weil man nur in diesem Falle die volle Überzeugung hat, dass in den späteren Folge- 

 diedern imao-iuäre AVorthe der Cocfficicnten nicht mehr auftauchen können, wenn sie in der 

 entwickelten isolirenden Gliedersumme nicht erscheinen. 



Die absteigende Entwickelung führt in der angegebenen Weise zu allen Asymptoten, 

 welche im Bcj-eiche unendlich grosser Abscissen verlaufen, aber keineswegs zu denen, welche 

 im Bereiche endlicher Werthe der Abscisse vorhanden sind. Man könnte zwar auf einem 

 Umwege auch zu diesen gelangen vermittelst der absteigenden Entwickelung, indem man 



die beiden Buchstabengrössen a und x ihre Rollen vertauschen lässt, a als die Unbekannte 

 X aber als eine unabhänoio-o Grösse betrachtet. Dieser Weo; ist auch meines Wi 



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•ammer's „Introduction a Tanalyse de ligncs 



einzig' und allein befolo't worden, wue in Ci 

 courbes algebriq^ues'' zu ersehen ist. Man kann aber auch auf einem directen Wege und ohne 

 diese Yertauschung der Unbekannten zum Ziele gelangen vermittelst der Bestimmung der in 

 den Wurzeln erscheinenden Xenner und der- aufsteigenden Entwickelungsweise. Dieser Vor- 

 gang wurde zuerst von Petzval angegeben. In der That, soll für endliche Werthe a von a 



a 



meinen unendlich grossen AVcrth erlangen, so muss die aufsteigend nach Potenzen von 

 a geordnete Entwickelung mit einem Anfangsgliede beginnen, dessen ^^ negativ ist, 

 d. h. die Wurzel mit a — a oder einer Potenz dieser Grösse im Nenner verschen sein. Man wird 

 daher nach der im Vorhergehenden angegebenen Weise durch gleich Null Setzen des mit der 



und Auflösung dieser Gleichung nach a 



— rA im Nenner einer oder 



höchsten Potenz von x verknüpften Coefficienten A.^^^ 



alle jene speciellen Werthe von a ermitteln, welche einer Grösse (a 



mehrerer Wurzeln angehören. Einem jeden solchen Werthe a entspricht eine Gleichung: 



a^^a 



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