BULLETIN 
DE L’ACADENIE IMPÉRIALE DES SCIENCES DE ST.-PETERSBOURG. 
suite AC en deux parties au point D, de sorte que 
Quelques considérations sur la bipartition répé- 
tee des grandeurs, par V. Bouniakowsky. AD — DC; puis DB également en deni ما و‎ n 
point E, AE au point F, et ainsi de suite. A mesure 
qu'on répétera la bissection, la longueur variable de 
la ligne comprise entre A et les points de division 
ainsi obtenus sur la portion AC, ou bien entre B et 
les points de division sur la portion 5C, s'approchera 
de plus en plus du tiers de la longueur totale AB. 
En effet, faisons AB = 1, et représentons par u, 
et w,, , , les deux distances consécutives, la première 
à partir de A, et la seconde à partir de B, des deux 
points de division obtenus aprés m et m + 1 opéra- 
tions. De cette maniere les indices pairs et impairs 
de w se rapporteront respectivement aux distances 
comptées de l'extrémité A et de l'extrémité B. La 
construction indiquée conduit de suite à l'égalité 
1— Um 
2 
din où: bé GE 
وب لاد‎ 008 2u,,,=1 Un 
De cette équation on tire la valeur suivante pour %,, : 
Be ET Tobis 1 
st) (ua) 
Si l'on observe que la quantité v, — 2 puisqu'elle cor- 
respond à la premiere bipartition de la longueur AB, 
on trouvera définitivement 
1 
g.9m* 
De là on voit qu'en posant successivement 
)شت يم‎ 4, 0° 
on obtient des valeurs de « alternativement supérieures 
Du.‏ )هړ 
up PM 1 
et inférieures à 5; ainsi on à 
i-i 
pour m = 1 Hate 
»— + 
3:738 با د — 
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giu ۰ 4 M 
| 3 
m = 4 Mic. T da 
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(Lu le 29 novembre 1866.) 
Les conséquences que nous nous proposons de dé- 
duire de la bipartition répétée des grandeurs se dédui- 
sent de la solution d'un probléme dont voici l'énoncé: 
Etant donnée une grandeur continue telle, que chacune 
de ses portions puisse être partagée, rigoureusement, en 
deux parties égales, on demande de diviser cette gran- 
deur en un nombre déterminé de parties égales avec un 
degré d’approwimation qui surpasse une limite prise à 
volonté. 
Ainsi, la division approchée en un nombre quel- 
conque de parties égales d’une droite, d’un arc de 
cercle, d’un angle, de la surface d’une sphère (en fu- 
seaux sphériques) et d’un grand nombre d’autres gran- 
deurs géométriques, dont la bissection s’effectue au 
moyen de la règle et du compas, se rapporte à ce 
probléme. L'analyse très-simple qui sert à résoudre 
la question conduit à une congruence, pour la solu- 
tion de laquelle j'indique un procédé, pour ainsi dire 
mécanique, et c’est l'application de ce procédé à cer- 
tains cas particuliers qui donne lieu à quelques re- 
marques. 
Commençons par le cas le plus pie; celui de la 
trisection; supposons, pour fixer les idées, qu'il s'a- 
| git de la division approchée d'une droite ou d'un arc 
de cercle en trois parties égales. Soit AB (fig. 1 et 
) 
fig. 2 
Fig. 1. 
C 2 
Fig. 2. 
7 
GE 
A SE 
cette droite ou cet arc de cercle. Pour résoudre la 
question, on divisera d'abord AB en deux parties 
égales; soit C le point de division; on partagera en- 
Tome 
