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Représentons par 1 la grandeur à diviser en p — 
9k + 1 parties, et cherchons les valeurs de l'exposant 
y et de l'entier E telles, qu'en prenant E parties de 
l'unité divisée par 2", on trouve un résultat appro- 
chant à volonté de - Cette condition s'exprimera 
par l'égalité suivante 
x Es 
— €, ou bien 
à‏ و 
e devant représenter une quantité positive ou négative,‏ 
inférieure à une limite donnée.‏ 
La supposition la plus naturelle et la plus avanta-‏ 
geuse, nommément‏ 
9E — +1,‏ — 2۳ 
réduira l'erreur € à‏ 
e äre gege gg 
qu'on pourra rendre aussi petite qu'on voudra en at- 
tribuant à p des valeurs de plus en plus grandes. 
C'est donc à la solution de l'équation (1), ou bien de 
la congruence 
سین‎ L0 (nod Bh usse 
que le probléme se trouve ramené. 
La congruence (2), avec le signe supérieur —, est 
satisfaite en prenant pour la valeur de p. la fonction 
que l'on représente ordinairement par o(p), et qui 
désigne la totalité des nombres inférieurs et premiers 
à p. Lorsque p est un nombre premier, o (p) se ré- 
duit simplement à p — 1. Or, la solution y = ọ (p) 
n'est pas toujours la plus simple: il arrive dans bien 
des cas qu'un nombre inférieur à o (p), diviseur de 
cette fonction numérique, satisfait à la congruence 
(2); e'est ce diviseur minimum que nous allons dé- 
terminer par une méthode particulière. - 
Représentons par y, l'exposant minimum de 2 qui 
rend soit 2۳0 — 1, soit 2۳۵ + 1 divisible par p; ou 
bien, en d'autres termes, soit 2۳۰ la moindre puissance 
qui satisfasse à la congruence (2) avec celui des deux 
signes 4- qu'exige la condition du minimum de w, 
Pour déterminer ce minimum il faut distinguer deux 
cas, suivant que le module p, premier ou composé, 
est de l'une des deux formes 
p=4N+1 ou p=4N +3, 
ou, ce qui revient au méme, snivant que le nombre 
ته‎ E ۰ ۰ ۰ 
2 est paw ou ۰ 
Bulletin de l'Académie Impériale 
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De plus, il est visible qu’en attribuant à m une va- 
1 1 
leur convenablement grande, l'erreur ; 5m, Par exces 
ou par défaut, pourra étre rendue aussi petite que 
l'on voudra. 
Le méme procédé s'applique à la division approchée 
d'une grandeur en un nombre ماو‎ ] de parties égales. 
Supposons, en effet, que l'on ait d'abord divisé la gran- 
deur donnée, que nous représenterons comme plus haut 
ES د‎ ^ 
par 1, en 2" parties égales; — sera sa premiere va- 
leur approchée. Retranchons de 1 une de ces parties 
“à SZ 1 ۱ 
l et divisons la différence 1 — zp de nouveau par Ke 
مو 
la fraction 1‏ 
S‏ 
او 
ER‏ 1 ^ | 
sera la seconde valeur approchée de 55,7 et ainsi‏ 
de suite. | 
Soient w,, et u, , , deux valeurs approchées consé- 
s ks. barco. 
cutives de ;;—; on aura l'équation 
1—um 
OH. 
De là on 8 
zn i ۳ سب وت‎ 
=u ou bien u... ~ 1— Um: 
m1? 
pr m—1 1 1 
nr d zem (u— x) 
et comme la première valeur approchée u, est égale à 
1 x 
gu; On aura finalement 
نز‎ d ona Mua EE io 
„rar VD, mas; 
On voit par cette expression qu'en répétant suffi- 
samment le nombre m de divisions en 2" parties, l'er- 
reur positive ou négative 
1 
۱ gm )2۳+-1( 
- pourra être atténuée à volonté. 
Passons maintenant au cas général, à celui où il 
s'agit de partager, approximativement, une grandeur 
donnée en un nombre quelconque de parties égales, 
en n'employant pour cela que la bissection. Et d'a- 
bord, il est visible que le probléme se réduit à la di- 
vision de la grandeur donnée en un nombre 7 
p 21 1 de parties égales; car, si le diviseur était 
pair, c.-à-d. de la forme 2^ (2k + 1), on effectuerait 
d'abord la division approchée en 25 + 1 parties, et 
puis on partagerait, rigoureusement, une de ces par- 
ties en 2^ portions égales. 
