observant que le nombre 16 de la colonne A cor- 
respond à 15*, nous le cherchons dans l'aggrégat B, 
et nous l'affectons d'un astérisque. Arrivés à ce nombre 
16* qui correspond à 1 de la colonne A, il n'y aura 
plus aucun nouveau nombre dans l'aggrégat B à mar- 
quer d'un astérisque, et l'opération est terminée. La 
totalité des nombres effacés ou marqués d'astérisques 
sera précisément égale au minimum cherché p. de 
l'exposant p. Dans le cas particulier que nous venons 
de considérer, on aura مش‎ = 5, et par conséquent. 
2 4-1 2 0 (mod. 33). 
Quant au signe + ou — qu'il faudra admettre dans 
la congruence (3). on le déterminera en général à 
l'aide de la régle suivante: à la somme des indica- 
tions des rangs occupés par les nombres marqués 
d'astérisques, on ajoute p + 1 ; suivant que la somme, 
ainsi obtenue, est paire ou impaire, on devra prendre 
le signe ې‎ ou le signe —. Cette règle, réduite à son 
expression la plus simple, revient visiblement à compter, 
combien, sur la totalité des nombres à additionner, il 
s'en trouve d'impairs; suivant que le nombre de ceux- 
ci est pair ou impair, le signe cherché sera + ou —. 
Ainsi, dans notre exemple, pour lequel on a 
9 4- 18 هب 5 ې 1 -24 16 ب 15 ېه‎ 1 — 60, 
il eut suffi de compter, combien, parmi ces nombres 
à ajouter, il y en a d'impairs. Comme le nombre en 
question 6 est pair, on conclut que c'est le signe + 
qu'il faut admettre; on aura donc 
8و‎ + 1 — 0 (mod. 33). 
Voici encore qnelques résultats numériques relatifs 
à d'autres diviseurs de la forme 4N +1: 
aN 4N+-1 Mo 2۳0 > 1 
2 5 2 gei 
H d 3 2^ 54-1 
6. *13 6 98 cai 
8 17 4 95 1 
10 21 6 2%: 1 
12 25 10 2/9 4. 1 
14 29 14 2! ae 1 
Pour démontrer le procédé que nous venons d'in- 
diquer, reprenons, pour fixer les idées, l'exemple nu- 
mérique précédent, et reproduisons les deux colonnes 
ې 
des Sciences de Saint-Pétersbourg. 
101 
Premier cas: p ے‎ 4۷ + 1*. 
Pour faciliter l'exposé du procédé que nous pro- 
posons pour résoudre la congruence 
(mod. 4N + 1),‏ 0 = 1چ و2۳ 
nous commencerons par l'appliquer à un exemple nu- 
mérique. Supposons que l'on ait p = 4N + 1 = 33, 
et par conséquent 7 = 2N = 16. Écrivons dans 
la colonne ci-dessous A les 16 nombres 1,2, 3.....16 
dans leur ordre naturel, et dans la colonne en regard 
B les mêmes nombres dans l'ordre suivant: d'abord, 
en commencant par en haut, les nombres pairs consé- 
cutifs 16, 14,19۰... 6,4, 2, et puis, à leur suite, les 
nombres impairs 1,3,5....11,13,15. De cette ma- 
niére nous formerons les deux aggrégats suivants: 
وه ه دي ده و و ی 
4 1 
1 16* 
2 14 
3. 12 
4 10 
5 8 
6 6 
1 4 
8 2 
9 17 
10 3 
11 5 
FD > ii 
13 9*. 
ET 178 
15 13* 
16 15* 
Cela posé, effacons ou marquons d'un astérisque le 
nombre 1 de la colonne B, et voyons à quel nombre 
ce 1* correspond dans 4; nous trouvons 9 en regard | 
de 1*; revenons à l'aggrégat B, et marquons y d'un 
astérisque ce nombre 9*; cherchons dans B le nombre 
13 qui correspond à 9*, et marquons le d'un asté- 
risque; de méme, comme c'est le nombre 15 de la| 
colonne À que l’on trouve vis-à-vis de 13*, on cherche 
15 dans B, et on le marque d'un astérisque. Enfin, 
*) Dans une note intitulée: Sur un problème de position relatif à 
la théorie des nombres (Mél. math. et astr. T. II, 1859) j'ai déjà eu 
l'occasion de considérer ce premier cas, que je traite ici d'une ma- 
niàre plus compléte. 
