Or, il est facile de voir que ce nombre 143 pourra 
étre considéré lui-méme, aussi bien que le précédent 
1— 106 = 
,کے = 142857 
comme égal à la période du rapport + réduit en frac- 
tion décimale alternée, ayant pour période le nombre 
143 pris, tour à tour, avec le signe positif et le signe 
négatif, de sorte que 
س 1 
neg 
1143 143 148 ۰ : 
ce que l'on vérifie directement. ۱ 
Et en général, on peut affirmer que, dans le cas 
oü l'équation 
(EE, 
p 0 
est possible, E, représentera le nombre de la période 
de 2 réduit en une fraction décimale, à périodes alter- 
nativement positives et négatives. La réduction de e 
en une telle fraction périodique est très-simple: pour 
cela, en effectuant l'opération ordinaire, il n'y aura 
qu'à s'arréter quand on sera parvenu à un reste égal 
à p — 1, et à augmenter d'une unité le dernier chiffre 
du quotient. On obtiendra ainsi pour le module 7 
7 | 1000 
0,142 سب 
1 30 
0,143 28 
20 
14 
.6—7—1 ` 
Parvenus à ce reste 6 — 7 — 1, nous augmentons 
d'une unité le dernier chiffre 2 du quotient, et nous 
obtenons ainsi la période 143. 
Pour ce qui concerne la solution générale de l'é- 
10" ې‎ 1 
—-=E, 
elle sera la méme que dans le cas précédent, à la seule 
différence prés que l'entier K n'aura que des valeurs 
positives impaires. 
On arrivera à des résultats tout-à-fait analogues 
|en faisant usage du systéme dyadique. Supposons, 
par exemple, qu'il s'agisse de trouver la puissance . 
minimum 27 qui soit congrue à l'unité suivant le mo- 
dule 9. Pour résoudre l'équation indéterminée 
Bulletin de l’Académie 6 
115 
plus haut pour déterminer le signe de l'unité dans la 
congruence 
| 2o — (— 1)*°—0 (mod. 4N + 3). 
Telle est la solution de la question que nous nous 
sommes proposée de résoudre au commencement de 
cet article. On a pu remarquer sa liaison avec cer- 
taines considérations tirées de 6 dyadique, 
et, principalement, avec les fractions périodiques bi- 
quation 
naires qui, dans ce systeme, jouent le méme róle que 
les fractions décimales dans le nótre. On ne trouvera 
peut-étre pas superflus quelques éclaircissements que 
nous allons présenter à ce sujet. ات‎ 
Supposons qu'en prenant pour base le nombre 10, 
on se propose de trouver la solution minimum de l'é- 
quation indéterminée | 
10": = 1 + pE» 
ou, en d'autres termes, que l'on cherche la puissance 
minimum 10"* qui soit congrue à l'unité positive sui- 
vant un certain module p, premier à 2 et à 5. Soit, 
par exemple, p — 7. ‚Pour trouver cet exposant mM, 
réduisons E en fraction décimale; nous aurons 
142857 تسه سپس ده 1 
وھ = ...142857 0,142857 —1. 
ESCH 10-1 — 142857. 
Cette égálité fait voir que E, est égal à 142857, 
nommément à la période de la fraction décimale qui 
exprime 7i et exposant minimum m = 6 au nombre 
des chiffres de cette période. 
Quant à la valeur générale de cet exposant que 
nous représenterons par m, elle sera donnée par le 
produit m = m K= 6K, K étant un entier positif quel- 
conque. On obtiendra la valeur correspondante de E 
en prenant pour ce nombre la période E, écrite K 
fois de suite. Ainsi, par exemple, pour K — 2, on aura 
102-1 — 142857142857. 
Observons maintenant que puisque 6 est l'exposant 
minimum cherché, et que 7 est un nombre premier, 
il faudra nécessairement que le second facteur de la 
différence | 
105— 1 = (10* — 1) (10* 4- 1), 
c'est-à-dire 10? + 1, soit divisible par 7; et en effet 
1092-1 
= = 143. 
