Nos formules conduisent tout naturellement à une 
démonstration très-simple de deux théorèmes élégants 
sur ]a racine primitive 2, donnés par M. Tchébychef 
.| dans sa Theorie des congruences *). Voici ces deux théo- 
rémes: 
ter Théorème. Si les nombres 4n + 1 et Sn + 3 
sont tous deux premiers, 2 sera une racine primitive de 
On + 3.. i 
2ème Théorème. Si les nombres n et 4n + 1 sont 
tous deux premiers, 2 sera une racine primitive de 
4n + 1. 
Pour démontrer le premier théorème supposons 
que l'on cherche la valeur minimum p, pour le mo- 
dule premier p = 8» + 3, et par conséquent pour un 
nombre d'éléments égal à À SZ ے‎ dät LL La pre- 
ER 
mière des formules (16) donnera 
Pe- Dh oy — 1) CNE gh ae 2 +1. 
Or, comme 9۳0 — (— 1۳۳ doit nécessairement être 
divisible par le nombre premier p = 8n + 3, et que, 
d'un autre côté, l'exposant p, sera un diviseur de 
p —1 = 2 (4n + 1), cet exposant ne pourra être égal 
qu'à 1, ou à 2 ou à 4n + 1, vu que ce dernier nombre 
est premier par hypothèse. Quant à la supposition 
p, = 2 (4n + 1), elle est inadmissible, parce que p, 
ne peut pas surpasser le nombre 4n سه‎ 1 des éléments 
de l'aggrégat. On aura donc 
ee BE, 
ou کک کے ,وء‎ Us | (mod. 8»- 3). 
ou gnt (— 1۳۰ 
Les deux premières congruences devront être écar- 
tées; en effet, la première qui donne 30 (mod. 8n+3) 
ne convient qu'au cas particulier n = 0, p= 3. Quant 
à la seconde 274 1 = 5 = 0 (mod. 8n + 3), elle est 
impossible. Nous rejetons l'autre forme 2°— 1 = 3 
de cette congruence, parce qu'elle est incompatible avec 
la condition que l'exposant y, = 2 soit un minimum. 
Il est visible, en général, que lorsque le module p est 
premier, la valeur minimum p, ne sera jamais égale 
à un nombre pair, 2» par exemple, pour une con- 
gruence de la forme 
2? — 1] = 0 (mod. p); 
*) Teopia cpasneniü, 1849; pages 204 et 205. 
des Sciences de Saint - Pétersbourg. 
En cherchant, par notre procédé, la valeur mini- 
mum p, et la valeur correspondante de à , on trouve 
p, = 5, و‎ = au nombre pair 50; par conséquent 
2* — 1 (mod. 31). 
Or, comme? — = 15 et p = 5, on aura dem ce 8: 
il y aura donc, dans le cas actuel, trois groupes, dont 
chacun contiendra cinq éléments. Dans le tableau ci- 
dessus, ces groupes, dont les éléments sont respecti- 
vement marqués de un, de deux et de trois asté- 
risques, sont les suivants: 
1% groupe: te LES: en a 19 
2" groupe. ..... 3:579, که د‎ A A 
3۳۳ progpe. 2:77 p ns UST NE 
Pour ce qui concerne la valeur du symbole (i); on 
trouve 812 it 
2 SEN 
Nous avons déjà remarqué plus haut que les quan- 
tités A, A A, .... sont toutes simultanément paires 
ou impaires; il suit de là que la congruence 
2۳۰ — +. 1 (mod p) 
entraine la suivante 
p—1 
932 E کے‎ + 1 
Quant à la congruence 
99» — — 1 (mod. p), 
elle donne ۱ 
هس‎ apri UE 
d iess وا یا‎ Dec 
La considération de la valeur minimum p, Satis- 
faisant à la congruence o 
2۳۰ — (— 1)^ (mod. p), 
p étant un nombre premier, fournit un critérium cer- 
tain pour décider, si 2 est ou n'est pas une racine 
primitive de p. En effet, il est visible que 2 sera une 
racine primitive de p, si p, est égal à ?T et si, de 
plus, la congruence 
—1 
و‎ ۶ + 1 0 (mod. p), 
avec l'unité positive, est satisfaite. . Quand ces deux 
conditions ne sont pas remplies à la fois, on est as- 
suré que 2 n'est pas une racine primitive de p. 
