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En se fondant sur ces deux théorémes, et en pre- 
nant en considération la valeur minimum (u, , on arrive 
à un moyen simple, au point de vue théorique, pour 
décider, en certains cas, si un nombre donné est pre- 
mier ou composé. Il suffira d'énoncer les deux pro- 
positions suivantes qui, après ce qui a été dit plus 
haut, n'exigeront aucune autre explication. Le fer 
Théoréme de M. Tchébychef donne lieu à la con- 
clusion que voici. 
Le nombre An + 1 étant premier, 8n + 3 sera pre- 
mier ow composé suivant que dans la congruence 
9۳۰ ے‎ (— 1)^ (mod. 8» + 3) 
lexposamt minimim p, déterminé pour le nombre 
An + 1 d'éléments, aura une valeur égale ou différente 
de £n + 1. 
Quant à la condition du signe de l'unité, elle sera 
évidemment remplie dans le cas de p, = 4n + 1, car 
on aura [formule (16)] 
(۸ 12-2 ...موب‎ (4n3- 1) — (2n a 1) (4n 1), 
d’où (—1)^——1, 
et par conséquent 
OTI 4. 1 — 0 (mod. 8» + 3). 
Le 24 Théoréme conduit à la conséquence suivante: 
Le nombre n étant premier, 4n + 1 sera premier ou 
composé suivant que dans la congruence 
2۳۰ — (— 1)^ (mod. 4n + 1) 
l'exposant minimum w, déterminé pour le nombre 
2n d'éléments, aura une valeur égale ou différente ` 
de 2n. : 
Pour ce qui concerne le signe de l'unité, J'observa- 
tion est la même que tout-à-l’heure, et l’on aura 
2۳ ې‎ 1 zz 0 (mod. 4n - 1). 
Nous terminerons ces considérations par la re- 
marque que le procédé, dont nous avons fait usage 
pour résoudre l'équation 
9۳ 4 Tz E. 
|p étant un nombre impair quelconque, s'applique avec 
la méme simplicité à trouver la solution minimum de 
l'équation plus generale 
G: 3: b — pE, 
Bulletin de l'Académie Impériale 
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cela suit de ce que 2"— 1 se décompose en deux 
facteurs 2 + 1 et 2' — 1 dont l'un doit nécessaire- 
ment étre SIN par p. Nous aurons done p, = 
An + le x P=, ر‎ — à un nombre impair, et par suite 
qi 1 
gm-rt سے‎ EEN = — 1 (mod. 8n + 3), 
ou bien 
Le 
(mod. 8n + 3),‏ 1=0+ ? و 
ce qu’il s'agissait de prouver.‏ 
Pour établir la seconde proposition, on supposera 
l'aggrégat composé de 2» éléments, et il s’agira de 
faire voir que la congruence 
9۳۰ — (— 1)^ = 0 (mod. 4n + 1) 
qui résulte de la premiere des deux formules (11), 
doit nécessairement se réduire à 
92 ې‎ 1 = 0 (mod. 4» + 1). 
SAR l'exposant p, doit être diviseur de 
An + 1 — 1 = 4n, 
et que d'ailleurs il n'est pas supérieur à 2%, il ne 
pourra être égal qu’à l’un des cinq nombres 
1, 2, 4, n, 2n, 
` vu que » est premier. On s’assurera comme tout-à- 
I heure que les nombres 1, 2 et 4 doivent être ex-. 
clus; il ne restera donc à considérer que les deux 
derniers n et 2n. Or, je dis que p, ne peut pas être 
égal.à n, car ni l'une ni l'autre des deux congruences 
2" — + 1 (mod. 4n + 1), 
et par suite celle-ci. | 
2?" — +1 (mod. دزئ‎ 1), 
n'est compatible avec celle qu'on obtient en vertu de 
l'expression du symbole ( =) qui, dans le cas de n 
premier et impair comme nous le supposons, se ré- 
duit à 
PESCE: J= 
Donc, la valeur minimum p, sera égale à 2n, et l'on 
xim om + 1 — 0 (mod. 4n+ 1), 
(4n 1? —1. 
8 ——1(mod.4n+ 1). 
d'oü l'on conclut que 2 est une racine primitive de 
An + 1, lorsque n est lui-même un nombre premier. 
