144 Theodor Schönemann. 
$. 1. Erklärung und Lehrsatz. Bedeutet fx irgend eine ganze Funetion von x, welche sich 
nicht in der Art in zwei Factoren von niedrigerem Grade zerfällen lässt, dass die Coöffieienten dieser 
Faetoren wieder rationale Funetionen der Coäffieienten von fx sind, so heisst fx ein irreduetibeler Aus- 
druck von . 
Wenn fx ein irreduetibeler Ausdruck von x ist, so kann derselbe mit keinem anderen Ausdrucke 
fıx, dessen Coöffieienten ebenfalls rationale Funetionen der Coöffieienten von fx sind, eine Wurzel ge- 
meinschaftlich haben, ohne dass f, © durch fx ohne Rest theilbar sei. 
Beweis. Bestimmt man nach den gewöhnlichen Methoden den grössten gemeinschaftlichen Theiler 
zwischen fx und f,®, so ist dieser offenbar ebenfalls ein Ausdruck von &, dessen Coöffieienten rationale 
Funetionen der Co£fficienten von fx sind. Wäre dieser Theiler nun nicht fx selbst, so wäre er von nie- 
drigerem Grade als fx und mindestens vom ersten Grade. Demnach müsste also fx einen solchen Faetor 
haben, was gegen die Voraussetzung ist. 
$. 2. Erklärung und Lehrsatz. Sind a,, &, ... a, die Wurzeln des irreduetibelen Ausdruckes 
fx, und bedeutet px eine rationale Function von =, und den Coöffieienten von fx, so soll der Ausdruck 
(e — pa) (Ce —99,)... (a — 90,) 
der transformirte Ausdruck von fx heissen, und durch f, x bezeichnet werden. 
Der transformirte Ausdruck ist entweder selbst irreduetibel, oder die Potenz eines irreducetibelen 
Ausdruckes. 
Beweis. Gesetzt f,x sei (ax)” qgx, wo ax und gx rationale Ausdrücke von x und den Coäffi- 
cienten von fx bedeuten, und m eine ganze Zahl ist, ferner ax irreduetibel und kein Factor von g. ist, 
so ist auch : 
fe @2) = Pr — Pa) E2— 20,) ... Pr— 9a) = [alpe)]” q 2) 
und es muss daher entweder a(pa,) = 0 oder g(pa,) = 0 sein, mithin entweder a(pgx) = fx. ı® 
oder g(px) = fx. g,% sein, wo g® und q,® ebenfalls ganze rationale Funetionen von x sind. Im 
ersten Falle würde 
a(e0,) = a(p%) =...alge) =, 
im anderen Falle 
En) = 4ER) = ...4(94) = 0 sein. 
Setzt man nun statt x, z, so erhält man 
@— 24) @— 9%)... @— 9a) = (az)" qz 
und es müssten für den ersten Fall die Wurzeln von 
,„_ .@=94) G=P%)...@P%) 
z (a2)" 
und für den zweiten Fall die Wurzeln von 
G—= Pa) BP). 9a) 
72% 
mit gewissen Werthen von p4,, $@, ... 9a, zusammen fallen; daher müsste für den ersten Fall 
q (ga) = 0, und für den zweiten a(pa,) = 0 werden, wo v einen der Indices 1, 2,...n 
(GA 
