Über die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreduetibeler Gleichungen. 145 
bedeutet. Daher müsste aber auch für den ersten Fallg (2x) und für den zweiten Fall a (9x) durch fx 
ohne Rest theilbar sein ($. 1). Mithin müssten in beiden Fällen g (2x) und a (2x) durch fx ohne 
Rest theilbar sein. Setzt man nun a(o2) = fv.qx und g(px) = fx.g,x, so muss sowohl 
a (ga,) als auch qg (24) = 0 sein. Mithin haben die Ausdrücke « x und qg x die Wurzel oa, gemein- 
schaftlich, und es müsste sich daher qx ohne Rest durch «x theilen lassen. Da dies gegen die Voraus- 
setzung ist, so kann gar kein g= existiren , und fx ist = (ax)" 
$. 3. Lehrsatz. Ist fx irgend ein Ausdruck vom Grade rn, dessen Coöffieienten rationale Zahlen 
sind (irreduetibel oder nicht), und der nicht zwei gleiche Wurzeln hat, so kann man stets eine unend- 
liche Menge von Primzahlen so bestimmen, dass, wenn man eine von ihnen mit p, und die Wurzeln 
von fx mit &,, &s, . . . @, bezeichnet , der Ausdruck 
a +tpPpa tpa +... + pa" 
einen andern Werth annehme, wenn man die Ordnung der Werthe a,, @ ... «, ändert, so dass also 
jener Ausdruck durch sämmtliche mögliche Permutationen 1, 2, 3,...n oder 2! verschiedene Werthe 
annehmen muss. 
Beweis. Wir werden zunächst annehmen, dass wenn 
Natacy Dat Tue I... 
gesetzt wird, a, — 1 und die übrigen Coöffieienten a,, @,, ... a, ganze Zahlen sind. Bildet man nun 
einen Ausdruck II (x) dessen Wurzeln die Differenzen je zweier Wurzeln von fx sind, so ist 
NE) — (2 — (a — %)) (2 — (a — %)) ea (re = %))- 
(2 —(& — %) ) (2 — (a. — %,)) .... (2 -& —@)).- 
(re 4) (e— (&. — %;)) 3,3 ( — (..— %-1)) ’ 
und die Coöffieienten von II(x) müssen symmetrische Funetionen der Wurzeln &,, %.... a,, mithin 
wieder ganze Zahlen sein. Setzt man nun voraus, p sei eine Primzahl, die nieht in den letzten Coöffieienten 
von II (x) oder in 
(u — 3)’ (4a — %). .. (u -%&) (a — 5)’ (a —%)'. . .. (an a)” 
aufgeht, so genügt sie der eben aufgestellten Bedingung. 
Gesetzt nämlich irgend zwei Ausdrücke der obigen Art, 
st7, +pP +... + pa und proa, + pa, + pe a; + pa-ia,, 
WO Pos Bir». Bu die Zahlen O0, 1,2,...n—1 in irgend einer Folge nur nicht in der eben hin- 
geschriebenen bedeuten, wären gleich, so wäre die Differenz derselben 0, und man erhielte: 
a, (1—p%) +, (p— pH) +... a (p— pr) =. 
Setzt man nun zunächst voraus , p, wäre nieht 0 sondern p,, so wäre: 
n—1 
Hy — Ay = pm — a, (P— pH) — a; (PP — pe) . . .— a, (PT — Pat) — Anrı-P" > 
wo aber in der Reihe der Ausdrücke 
— a, (p- pH) — a; (p’— pr)... — a, (p'' — pr") der Ausdruck — an4ı (p” — pt") 
Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. V. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. t 
