Über die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreductibeler Gleichungen. 147 
.und bestimme @, a), ... a, als ganze Zahlen , so erhält man 
Y n wen 7) 2 Ft n— 
af (.) —y Lay Loy, 100% lan 
Sind nun die Wurzeln von fx nämlich «,, &, ... «, sämmtlich unter sich verschieden, so sind auch 
die Wurzeln von 
ya ya. alas. 
unter sich verschieden, weil diese a,a,, 4%, ... a, a, sind. Bestimmt man nun aber p so, dass 
sämmtliche Werthe, die sich aus dem Ausdruck 
u tPnn +... Pa 
durch Permutation der Grössen @, &. 4y%3, . .» . do A,_, ergeben, verschieden werden, so muss dasselbe 
auch von den Ausdrücken gelten, die aus 
at tpn ht... pa 
durch Permutation von &,, &%,... a, hervorgehen. 
$.%. Lehrsatz. Haben a, @%, %... ca, und p die ihnen im vorigen $. ertheilte Bedeutung, 
so kann man durch jeden Werth von der Form 
2 —1 
Au, + P %y, 4 P vs | OD Di un 
WO Yu, Bas...) die Zahlen 1,2,...n in irgend welcher Ordnung bedeuten, jeden der Werthe 
%s Ass... a, rational ausdrücken, und mithin jede rationale Function von a, %,... a, als rationale 
Funetion jenes Werthes. 
Beweis. Bezeichnet man 
At Pa, Pam + --- + pa. durch Men nen... 1m) 
und sämmtliche Werthe die Yanzus...n.) annehmen kann mit v,, ©, %... %.2.3.. cn), Indem hier 
den Zahlen ps . %s... x, die Werthe 2, 3,... n in allen möglichen Ordnungen beigelegt werden , so ist 
(e—v,) (@ —%)...(e—d42..09) 
ein Ausdruck, der sich nach den Potenzen von @— a, entwickeln lässt, und dessen Coöffieienten sym- 
metrische Funetionen von 4%, %,... 9%, sein müssen. Die symmetrischen Funetionen von &, Ay,...% 
lassen sich aber als rationale Funetionen von «a, entwiekeln, und man kann mithin 
(e—v,) (e—%) . . . @—d. 2... a) = IC a) 
setzen, und hiermit eine Funetion von = bezeichnen, deren Coäffieienten ganze Funetionen von & 
sind. Bezeichnet man nun sämmtliche Werthe von Vin, ner..un)» WO Bis Bar Ps - » Pu die Werthe 
1), SO muss 
(v.—u,) (© 
sein. Setzt man in g (x, a,) statt x einen der Werthe v,, ©, ...%,2...c-1), den wir mit © be- 
%)... (a— ua. 23H. sn) = 9 (2, 9.) 
zeichnen wollen, so verschwindet es, und setzt man statt «, das Zeichen für eine Unbekannte etwa y, 
so kann man sagen dass g (v, y) und fy die Wurzel a, gemeinschaftlich haben. Aber g (v, y) und 
y können keine zweite Wurzel etwa «, gemeinschaftlich haben, denn die Wurzeln von g (2, %,) sind 
Updüps dh, 28 .,..—ı und diese sind nach dem vorigen $. von 9, %,...%,23...n-ı verschieden. 
£* 
