Über die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreduetibeler Gleichungen. 151 
$. 8. Lehrsatz. Wenn beim Übergange von V, in AV, a, in a, übergeht, so geht auch beim Über- 
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gange von AV, in AV, a, in a, über, wesshalb dasselbe stattfinden muss, wenn k"V, in k"+'V, übergeht, 
wo q und r irgend welche von den Indices 1, 2,.. n bedeuten und m irgend eine ganze Zahl ist. 
Beweis. Bezeichnet man V, oder a, + pa, + p’a, + pa, durch (a, % ... An... 2...) 
AI. -N r ı N 
und AV,, in welchem an die Stelle von «, der Werth «, und an die Stelle von «, der Werth a, getreten 
ist, dureh (..... (no oo00l0Hasana ), so kann man in diesem letzteren Ausdrucke alle Werthe von a 
als Funetionen von /, ansehen, und erhält 
Kan (er: ee re ) 
und mithin 
EAN Be 1 (Be ee GV ee ). 
Es ist aber y@'""kV, = a,, denn a, nimmt die g“ Stelle in AV, ein. Man erhält mithin die drei Glei- 
chungen 
Mh en 0 ano) 
BR or ana RE N) 
N Os eybenl) 
wodurch der Satz bewiesen ist. 
$. 9. Da die Anzahl der verschiedenen Werthe von V,, kV,, kV, ete. eine beschränkte ist ($. 6, 
Zusatz), so muss für irgend welche ganzzahlige Werthe von m und m, der Fall eintreten , dass "+", 
— %k"V, wird. Ist nun m, die kleinste Zahl, welche dieser Gleichung genügt, so muss auch k"V, —V, 
sein, denn da 
Beta, — ap, = Amy, — Key, = 0 
ist, und k"V, wie oben bewiesen eine Wurzel des irreductibelen Faetors F,V ist, so kann man in jene 
Gleichung jede andere Wurzel von F,V einsetzen. Setzt man also für k"V, den Werth V,, so erhält man 
k"Y,—V,=0. Es wird mithin immer eine kleinste Zahl m' geben, die der Gleichung genügt "N, —=V).. 
Ist diese einmal bestimmt und x und y bedeuten ganze Zahlen, so wird AV, — %'V, sein, wenn 2 = y 
(Mod. m,) ist. Die Folge der Werthe V,, AV), kV, .. . . k"'V, soll eine Periode heissen. 
Kennt man V, und AV, so ist es leieht die Bildungsweise der folgenden Werthe, und die Zahl der 
- 
Glieder oder m, kennen zu lernen. Betrachtet man zu dem Ende das letzte Beispiel des $. 7, nämlich: 
| 
1 (1,2, 3,4, 5) 
ae) 
A 
Ba le 
Ey — (5, 1,4, 2,3) 
es), 
so geht beim Übergange von V, in AV, 1 in 2,2 in 4,4 in 3, 3 in 5, 5 in I über. Durch Anwendung 
des $. 8 ist hierdurch die Folge der Zahlen in der ersten Verticalreihe der Parenthesen auf der rechten 
Seite bestimmt, und muss sein 1,2, 4, 3, 5, 1. Ebenso ist in diesem Beispiel die Folge der Zahlen in 
der zweiten Vertiealreihe bestimmt und ist 2,4, 3,5, 1,2 ete. Fügt man zu jeder Ziffer von V, die 
unter ihr stehende von AV, auf folgende Weise [1.2,2.4,4.3,3.5,5.1], so soll dies Zei- 
chen der Index der Periode heissen. Läuft die erste Ziffer dureh alle » Ziffern hindurch ehe sie in sich 
zurückkehrt, so muss offenbar die Periode aus », hier also aus fünf Gliedern bestehen. Kehrt die erste 
