152 Theodor Schönemann. 
Ziffer aber bereits früher in sich zurück, so muss der Index in mehrere Abtheilungen zerfallen. Da also 
im ersten Beispiel des $.7 V, = (1, 2,3,4,5) und AV, = (2,4, 5, 1,3) ist, so bildet sich hier 
der Index [1 .2,2.4,%4.1|3.5,5.3] der aus zwei Abtheilungen besteht. Hieraus folgt, dass 
bei diesem Beispiele die erste Verticalreihe aus den Ziffern 1, 2,4, 1,2,4, 1, die zweite aus 2, 4, 1, 
2,4,1,2, die vierte aus 4, 1,2,4,1,2, 4, die dritte aus 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3 und die fünfte aus 
5,3,5,3,5,3, 5 bestehen müsse. Die ganze Periode muss aber offenbar 3 X 2 Glieder in sich 
schliessen, weil sie aus zwei einfachen Perioden von drei und zwei Gliedern gebildet ist. 
Aus diesen Beispielen geht nun offenbar der Satz hervor: dass wenn der Index für a Wurzeln in 
m Theile zerfällt, von denen der erste m,, der zweite m,, der dritte ms, ... . der letzte m, Ziffern in sich 
schliesst, wo alon = m, + m, + my + ... m, ist, — dass alsdann die Periode so viele Glieder in 
sich schliessen wird, als das kleinste Vielfache von m,, m», . . . m, angibt. 
$. 10. Lehrsatz. Haben fx, a, %,...a,, p und V die ihnen in den vorigen $$. beigelegte 
Bedeutung, so ist V im Allgemeinen die Wurzel einer Gleiehung vom Grade 1.2.3.....n, deren 
Coeffieienten rationale Funetionen der Coäfficienten von fx sind. Ist nun fx irreduetibel und jene Glei- 
ehung für V ist FV = 0, ist ferner FV= F,V.F,V...F,V, und die Factoren auf der rechten 
Seite sind sämmtlich rationale und irreduetibele ganze Functionen von V, so sind alle diese Factoren von 
gleich hohem Grade, und dieser Grad selbst ist ein Vielfaches von n. 
Beweis. Setzt man a +p%& + ...+ p'a = V, und nimmt an, V, sei eine Wurzel von 
FV = 0, so ist yV, = 0, ($. 4), mithin haben F,,V und fx die Wurzel &, gemeinschaftlich, und es 
muss daher F,,V gleich einer Potenz von fV sein ($. 2). Da aber F,,V von demselben Grade wie FV ist, 
so muss dieser ein Vielfaches von » sein. 
Wollte man nun voraussetzen F,V und F,V wären von verschiedenem Grade, so mag F\V von ge- 
ringerem Grade als F,V sein. Es sei nun eine Wurzel von F,V, V,so kann man V, als rationale Function 
von V, ansehen, da sich alle Wurzeln von FV, durch jede rational ausdrücken lassen. Setzt man daher 
V, = kV,, so muss F,V mit F,V eine Wurzel gemeinschaftlich haben, desshalb müsste F',V eine Potenz 
von F,V sein ($. 2), und der Grad von F,,V wäre mithin ein Vielfaches von dem Grade von F,V. Der 
Grad von F,,V stimmt aber überein mit dem Grade von F\V, und es müsste daher die kleinere Zahl ein 
Vielfaches der grösseren sein. 
$. 11. Lehrsatz. Die Substitutionen , vermöge welcher eine Wurzel des Ausdruckes F,V in eine 
andere desselben Ausdruckes übergeht, sind dieselben wie in jedem der andern Ausdrücke F,V, F3V...F,V. 
Beweis. Gesetzt 
a I pa, 4 pas... pa, und, | pt po 1... 1098, 
seien zwei Wurzeln von F\V, wo Ö,, 03, . . . ©, mit &. A, . . . a, bis auf die Ordnung übereinstimmt, und 
eine Wurzel von F,V sei die ganze und rationale Funetion k von @, + pa, .. . p"'a,, so muss KV — F,V 
sein ($. 2, 10). Mithin sind zwei Wurzeln von F,V die folgenden beiden: 
ka typ + pa; +...p'a)undk@&, +P% + Pi + -- pi). 
Setzt man aber 
ka tpn pP +... +p'a) =a, tTpa,t... + pa. 
so ist 
k& + pP: + pP +...) =, tr. ti. Ft: Pr 
Die allgemeine Substitution, durch welche 
a po I pa; II... Lo ind 4 po: + Pos 4 ..2.pm0, 
