Uber die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreductibeler Gleichungen. 153 
übergeht, besteht offenbar darin, dass a; durch 5, substituirt wird, wo 7 einen der Indiees 1,2, 3,...n 
bedeutet, und die allgemeine Substitution, durch welche 
a Da. 1 Pau. te =. » = pumsa,, ınaö. 1 90. 1 pi, Te ni, 
übergeht, besteht darin, dass @,, durch ö,, substituirt wird. Offenbar ist aber die Bedeutung dieser Sub- 
stitutionen dieselbe. 
Zusatz. Es folgt hieraus, dass die Indices der Perioden, welche in F,V enthalten sind, durch blosse 
Veränderungen der Abtheilungen, in die Indices der Perioden übergehen, welehe in F,V enthalten sind, 
oder dieselben sind, und dass daher die Perioden, welche in den einzelnen Faetoren F\V, F,V,...F,V 
enthalten sind, aus gleich vielen Gliedern bestehen müssen. 
$. 12. Lehrsatz. Ist fx irreduetibel und vom Grade n, ist » eine Primzahl, und sind a. a ,...@, 
die Wurzeln von fx, haben ferner V, FV, FV, F,V,...F,V und @V die frühere Bedeutung ($. 10, 
$. 5), so muss einer der Factoren F\V, F,V,... F,V die Periode V,, @V,, @V, ... @—"V, in sich 
schliessen, d. h. alle diese Werthe müssen zu seinen Wurzeln gehören, wenn V, eine dieser Wurzeln ist. 
Beweis. Die Ausdrücke F}V, F,.V. Fı:V» - - - Fıa_ıV sind entweder sämmtlich unter einander 
verschieden, oder sämmtlich gleich; denn wären zwei Ausdrücke dieser Art gleich, so erhielte man eine 
Gleichung von der Form: 
Br a FEN, 
GırYy 
wo x und x + y Zahlenwerthe aus der Reihe 0, 1,2, 3,...n—1 sind. 
Bestimmt man nun z so, dss «+ y-+ x = nist, so muss F\V = F, V sein. Da nämlich 
7 
lgxrz 
F\ x, V = Fı,V Ist, so muss man auch dieselben Ausdrücke erhalten, wenn man in beiden Ausdrücken 
statt ihrer Wurzeln, dieselben rationalen Funetionen @” dieser Wurzeln setzt. Das Resultat dieser Ope- 
ration ist aber offenbar durch die Gleichung 
ne lz —- gsal2 
ausgedrückt. Da nun aber e +y+ x = nist, und @V = V sein muss, wenn V einen Werth von 
der Form 
„tra tPa +..,+p' 
bedeutet, so muss 
7 = FV 
6 
sein, und man erhält 
I. V > FV. 
Setzt man nun statt © + ? den Buchstaben s, so folgen aus der Gleichung FRV = F, ‚V die folgenden 
Fu = F' V D E.V. = Frl. etc., 
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welche man aus der ersten Gleichung erhält, wenn man statt ihrer Wurzeln die rationalen Funetionen 
G°, @", @°° ete. hinter einander einsetzt. Da aber s oder x + z kleiner als » sein muss, so sind die 
Werthe s, 2s, 3s, ... (na — 1) s sämmtlich nach dem Model » verschieden, oder lassen durch » ge- 
theilt verschiedene Reste. Offenbar wird aber @’V = @'V sein, wenn is =r (Model n) ist; aus glei- 
chem Grunde muss F},.V/ = F,.V sein, wenn is=r (Model n) ist. Legt man aber dem 7 alle 
gis 
Werthe von 1 bis n — 1 bei, so wird man dem Reste r dieselben Werthe beizulegen haben, wenn auch 
in anderer Ordnung. Durch die Gleichungen 
FV = F,/ = F,V ee, 
Denkschriften d. mathem.-naturw. Cl. V. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. u 
