Über die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreductibeler Gleichungen. 155 
Setzt man statt der Ausdrücke unter dem Funetionszeichen & ihre Werthe, und bedenkt, dass Y@'V, = 
l ı>Pı 
sein müsse, so erhält man & (ß, 8; ...%, 3) = 0. Würde man statt @V, in die obige Gleichung 
@°V, eingesetzt haben, so würde man &E (B, BB, ...B,ß, 3) = 0 erhalten haben ete. 
1 fe) vs 14 nal 1n a2) 
$. 14. Lehrsatz. Zwischen den Wurzeln einer irreduetibelen Gleichung fx = 0 von einem 
Grade » der eine Primzahl ist, kann keine Gleichung des ersten Grades stattfinden, deren Coäffieienten so 
wie die von fx rational sind ausser der bekannten Gleichung, dass die Summe der Wurzeln dem nega- 
tiven Coöffieienten von 2" 
in fx gleich sei. 
Beweis. Man denke sich die Wurzeln so geordnet, dass man mit ihnen die Substitutionen des vorigen 
Paragraphen vornehmen kann. Bezeichnet man dieselben nun mit 3,, ß . . . 9, und mit A,, Ay... A, sind sie 
und M rationale Zahlen, so sei die vorausgesetzte Gleichung des ersten Grades A, ß, + AB + Ay Bs 
Si 5 Bee + A, f, — M = 0. Durch Anwendung des vorigen Paragraphen erhält man folgende 
n Gleichungen: 
4, Bi Sr A, B% SF A; B; + O0,rO Alben Bzı + A, B, or M 
4, ß: + A, ß; + As ß, + DO D DANS ß. + A, ßı = M 
A, B; = A, Br + 4; Bs ng EANRR, Bı Ar An B. =M 
4A, P. + A, ßı + As; 3» = er A Be, pr Ar Bi = M 
Bezeichnet man durch ® eine Wurzel der Gleichung 2’ — 1=0, und multiplieirt die erste der obigen 
Gleiehungen mit 1, die zweite mit ®, die dritte mit ©, ... die letzte mit &""! und addirt sämmtliche 
Gleichungen, so erhält man: 
A+ßko+ßo +... +AeT)(A+Leont + Ant +...+ A100 + A m) 
— NO ee 
Ist nun w nicht 1, und man legt ihm hinter einander die Werthe w, w’, ®°, ..... 0", w" bei, und bedenkt, 
dssI+o+® +... -+ oe" = 0 sei, so erhält man folgende » Gleichungen : 
GG +Boe+ßw+...LB ot )J)(A+AoT +40” +...4,0 )= 0 
a Re trßo +...B oe) (A + Aw Lot... A) 0 
0 FRo + BwCdr...B Ey AN A Se Ar: er Ara 
GB ++ +-:--9)) A+Ak+At+...+A)=n.M. 
Sind nun aber die Coäffieienten A, , As, . . . A, nicht sämmtlieh unter einander gleich, und ist die 
ganze Zahl m < n, so kann kein Ausdruck von der Form 
AAN EEE BA a IE Ay 
verschwinden, weil bekanntlich die Gleichung 
dee er 0) 
irreduetibel ist, wenn » eine Primzahl ist, mithin sämmtliche Wurzeln mit der Gleichung 
A A An er 0 
gemeinschaftlich haben müsste, wenn jener Ausdruck verschwände, und dies nur stattfinden kann, wenn 
A=4%=4=...—= 4, ist. Danun keiner der rechten Faetoren in jenen Gleichungen ver- 
u* 
