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Bulletin de l'Académie Impériale 
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Die Erscheinung von zwei oder mehr deutlich ge- 
trennten Schweifen, die von der Sonne abgewandt 
sind, scheiut eben so selten zu sein, als die schon er- 
wühnten merkwürdigen Wahrnehmungen von der 
Sonne zugekehrten Cometenschweifen. Die einzige 
dem schmalen Schweife des Donatischen Cometen 
völlig entsprechende Erscheinung hat man am Come- 
ten von 1807 beobachtet. Dieser zeigte einen gera- 
den, schmalen und schwachen Schweif, bei weitem 
weniger zurückgebeugt, als der gekrümmte hellere 
und übertraf den Hauptschweif an Lànge, wie es bei 
unserm Cometen gleichfalls stattfand. Vom Cometen 
von 1577, 1744 und 1811 werden Nebenschweife 
erwähnt; sie waren aber stärker zurückgebeugt als die 
Hauptschweife. Der grosse Comet von 1843 hat eben- 
falls einen Nebenschweif gezeigt; die Berichte sind 
aber so roh, dass man keine weitern Folgerungen dar- 
aus ziehen kann. Das Ungenügende der vorhandenen 
Aufzeichnungen über Cometenschweife ist übrigens 
ein Punkt, der dem Studium dieser Erscheinungen 
ganz unüberwindliche Hindernisse in den Weg legt. 
Essai sur le probléme de Fuss, par M. J. 
Mention. (Lu le 13 mai 1859.) 
Nicolas Fuss, dans les Nova Acta Petr. pour 1792, 
a donné la relation analytique entre les deux rayons 
et la distance des centres de deux circonférences, 
l'une inscrite et l'autre circonscrite au méme quadri- 
latére; en 1798, il a inséré dans les Nova Acta un 
Mémoire sous le titre: De Polygonis symmetrice irre- 
gularibus circulo simul. inscriptis et circumseriptis. I] 
trouve les relations pour des polygones, depuis le: 
triangle jusqu'à l'octogone inclusivement, tels que le 
diamètre commun aux deux circonférences passe par 
un sommet du polygone, et le divise ainsi symétrique- 
ment. Selon la remarque de Jacobi, les solutions de 
Fuss sont devenues générales par le fait de la décou- 
verte du théoréme de M. Poncelet (Propriétés pro- 
jectives, page 361) savoir: «Quand un polygone est à 
la fois inserit à une section conique et eirconserit à 
une autre, il en existe une infinité de semblables qui 
jouissent de la méme propriété; ou plutót tous ceux 
qu'on essayerait de décrire à volonté, d'aprés ces 
conditions, se fermeraient d'eux-mémes, et réciproque- 
M. Steiner (Journal de Crelle, tome II, p. 287) 
a indiqué les relations pour les polygones de 4, 5, 
6 et 8 cótés. Jacobi a vérifié que ses résultats, ex- 
cepté celui de l'octogone, étaient identiques avec ceux 
de Fuss. M. Steiner n'a pas traité l’heptagone, qui 
offrait le plus de difficulté; et son résultat, trés com- 
pliqué, pour l’octogone semble inexact. Enfin le 
grand géométre de Koenigsberg s'est proposé de rat- 
tacher la recherche de la relation à la théorie des 
fonctions elliptiques (Journal de Crelle, tome III, p. 
376), but qu'il atteint au moyen de la multiplication 
des fonctions elliptiques de premiere espéce. Il pose 
une égalité transcendante entre la distance, les rayons, 
le nombre des cótés du polygone et le nombre de 
tours qu'il fait dans le périmétre du cercle. Voilà, en 
y Joignant le précis historique *) de la page 377 du 
tome IV des Nouvelles Annales de Mathématiques , tout 
ce qui a été publié, à notre connaissance du moins, 
sur le probléme général, dont Fuss s'est posé d'abord 
quelques cas trés particuliers. Ainsi la solution en 
est encore attendue. 
On concoit qu'une relation purement algébrique et 
rationnelle lie entre eux le nombre des cótés du poly- 
gone, la distance des centres et les rayons des deux 
circonférences. Pourtant, les radicaux apparaissent, 
dés l'heptagone, en suivant les procédés si pénibles 
usités jusqu'à ce jour, et qui n'ont rien fourni au de- 
là de l'octogone. Il est vraiment singulier que per- 
sonne n'ait songé à transformer le probléme géomé- 
trique en probléme analytique. * 
J'opére d'abord cette transformation, extrémement 
facile, de laquelle il résulte un système d'équations 
pentre un nombre d’inconnües égal au nombre des cô- 
[tés du polygone et deux paramètres dépendant des 
rayons et de la distance. Ces équations, du quatrième 
degré, ont une forme particulière qui les astreint à 
remplir, pour être compatibles, certaine condition dont 
la recherche constitue le plus beau problème d’ana- 
lyse. Parmi les méthodes qui se présentent à l’esprit 
pour trouver la condition, une paraîtrait devoir être 
fructueuse par sa netteté, si le secours des séries ré- 
currentes ne lui était indispensable. Malheureusement 
la théorie des séries récurrentes est bien peu avañeée: 
J'ai fait quelques efforts, à l’époque toute récente 
ment, .... etc.» 
*) Ce précis nous a servi de guide dans ce qui précède. 
