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des Sciences de Saint - Pétersbourg. 
oü mon attention s'est portée sur le probléme de 
Fuss, en vue d'obtenir le terme général de la série. 
Mes efforts, je l'avoue, n'ont abouti qu'à me rendre 
plus sensible la difficulté du sujet. N'étant pas à 
méme, par ma position, de tenter des efforts nou- 
veaux; bien convaincu, en outre, de mon insuffisance, 
je publie le produit de mes réflexions qui inspireront 
peut-étre le désir d'arriver à la solution véritable et 
directe du probleme de Fuss. 
Une circonstance fort digne de remarque, c'est 
que notre systeme d'équations contient seulement 
deux parametres. La distance des centres devenant 
nulle, ou les deux cercles concentriques, le polygone 
est régulier; la relation. demandée est trigonomé- 
trique. 
Etendu aux polygones indices le problème de 
Fuss est sans doute par rapport aux fonctions ellip- 
tiques de deuxième et troisième espèce, ce que le 
problème primitif est aux fonctions de première. 
J'examinerai, dans un autre article, ce cas dont le 
systeme d'équations est trés compliqué. Durrande 
(Annales de Gergonne, tome 14) et M. Steiner (Jour- 
nal de Crelle, tome II) ont indiqué l'un, la relation 
triangulaire; l'autre, celle du quadrilatere. 
I. 
Problème. Trouver la relation entre les rayons, la 
distance des centres de deux circonférences, et les 
angles circonscrits ayant leurs sommets aux extré- 
mités d'une corde de la premiére, en méme temps 
tangente à la seconde. 
Solution. Soient A et B les extrémités en question; 
R, r les rayons des circonférences et à la distance de 
leurs centres 0 et I. La corde touche, je suppose, le 
‘ cercle r. On a: 
yg. m BAQ —i) 
sin? 4 ind e | ` 
t = 2 
e 
= Ra M 3 — Be z COS p cos (ABO 3). 
sin? 7- 
Eliminons l'angle BAO — ABO. On tire de là: 
rs 7 (cot4 + cot 3) = cos BAU, 
R?+r?— 82 r B f 
2Rr — gg Cot 5 cot z = sin BAQ. 
D'où: 
Tome I. 
2 R?+-r,— 8°)? 
1 — m (co? + cot? 5 + eot?5 cot" zl re 
A. 3 
uu rm LS. 2 A 
"DP (r Rr —3, 
ou 
2 2 (R2 +r? — 92}? 
ARP ET = cot?$ 3 “+ cot z + coté cot 7 3 
A — ò? 
— 2 cot cot; (re). 
Je fais: 
2R?r?+2R?8?+ riet Ri— Dirt — 
R? — ò? 
— 
= t, 
A B ës 
cotz =T, €0t = 2, et j'ai finalement: 
v=2’ a- x) +20, — ie. 
. On peut aussi employer l'égalité tétragonométrique 
de Goldbach, dans le quadrilatère ABOI qui a pour 
cótés respectivement opposés: 
A B 
8, r (coté + coté); R, —; R, — A 
N MAT 
» est essentiellement négatif. En effet 
Ay (R+-r+ò)(R+r— 9) (R—rò) (+r — R) 
si les cercles sont extérieurs l'un à Pautre, R+ r < 8, 
ò > R—r; trois facteurs positifs, un négatif. S'ils 
sont intérieurs, de méme, parceque 8 < R — r. 
Systeme d'équations du polygone. 
Un polygone de » côtés étant à la fois inserit au 
cercle R et circonscrit au cercle r; Di) Les Toys 
m d 
désignant les cotangentes des moitiés de ses ker, 
on aura le systéme d'équations suivant: 
ee AC 2 27 34 : 
V= ZT, rk: +80 — DES 
"nos 2 $4 . 
= HA, +L T. 212,7, 
RE 2 
‚=... +, oer. ny ta, m 
v2, ac, cr ET E 
Ces équations ne seront compatibles que moyen- 
nant une certaine relation entre y, 1 et n; réciproque- 
ment, lorsque cette relation existera, il sera possible 
de donner à un quelconque des angles une valeur ar- 
bitraire: il y aura done une infinité de polygones à 
la fois inscrits dans un cercle et circonscrits à l'autre, 
conclusion qui s’accorde avec le théoréme de M. 
Poncelet. 
