Bulletin de l'Académie Imperiale 
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IL. 
Cas nouveaux. Problème d'analyse à résoudre. 
Nous n'avons pas encore, jusqu'à présent, la véri- 
table maniére d'aborder, avec quelque chance de suc- 
ces, le systéme d'équations fort remarquable auquel 
nous avons ramené notre probléme de Géométrie. 
aque 
Tı y 
` [mss (v 4-1? + 48v]? — 
Par exemple le produit des variables, pour l'hepta- 
gone, est réductible à une expression de méme forme 
que-celle déduite plus haut, mais à coéfficients plus 
simples. En voici le calcul. 
— 2 (v 4- 1)? — wl 
bei Ta 
2,2 (v4+ 1? — 4i?v 
Les (»2- 1? + 4i?z,? * 
D'oü 
Af*?y (y 4 1? (£+ 7. ? 
C pad 
—.— &j* [(v24- 1? + 4i?y]?2- 22,27 [ (2-1)? + div} (4? — (4-1?) — 8i* (» -- 1)?] + [4/2 — 
[497,24 — (v -- 122 4i? (v 4- 1? (x 2-27)? 
(v4-1?]? 
z,* [4i? — Do 1? ]? — 22,2 (144? (v+ 1) iz 1)?2- Ain) — Sit (v + 1)2] + [(v+ 1?2- 4i]? ? 
puisque 2i(v4-1)(v--1— 2j) ^ [42?— (v--1?? 
ECH gek (y 4- 15 + 8i*y (v + 1)? + 442»)? 
a Tres" AT que te qui se réduit à 
Le numérateur de cette fraction est divisible par il) —— P1 20? (20— v — 1) 
(v 4- 1)? + 8i3y [(v 2-1)? -- div]? 
2, — v et le dénominateur par 1-+x,’, en sorte que 
définitivement 
— 2? [u + 1)?4- 429]? — v [42 — (v+-1)2]? 
5 — [WHP 42V]? 2,2 [42 — (v+-1)2]2 * 
Je reprendrai les cas déjà examinés. 
Triangle. 1l est clair que 
x? (v -A- 1? — dën 
(v+ 124- 4i?z,? 
comme pour le pentagone, car 
gx 
qux. = 
GEM 2 
Gn us MEO — y __% — Ÿ 
GS Lei GT: l-g? 
et 
2,2 "E eg (zc 3+ OË — v (z,-- pa. 
(ar + (2534-74)? ? 
or 
ua deg im 
De Da ire 
Donc 
44? 2i 
=< — ee -- 
(v4- 1? ou 1 STE e 
Il faut prendre le signe —. 
Pentagone. De même 
Eur, — PE [o1 a- 46s)? — v [42 — (y 4-193 
3 (zU 4i] + z,? [42 — UR 
comme pour l'heptagone. Donc 
— [4 — (v 4-1? 3? gud a 4i? fo 1? 
((»a-122- 4] vil --— (v--Iy-o-48y 
Il faut prendre le signe —, ce qui donne 
8v+ 4i (+ 1) + 2i(v +1’ — (+1) — 0. 
Heptagone. Ici 
el? -— 
(+184 4 7 
EES heem 
4i (4-1) Q 
165» co -- 8 
ou encore 
Les deux nouvelles formes de la relation heptagonale 
conduisent à l'équation: 
64i + 32 (1 — y") — 162» (v +1) 
+ 8? (12- yf (1— 3v) 
+ 4?! (y +1) — 4i (y a- 1 — (v + 1) O. 
On voit done que la premiere forme (8 1) était en- 
tachée d'un facteur étranger qui rendait impossible 
sa comparaison avec celle de Fuss, 
Pour 9— 0, 
=, Y —(i—1y, v+ 1 — (2 —1). 
La relation heptagonale devient alors: 
(8 — 12i2- 6? — 1°) (16 — 24i + 144? + i) 
— 16 (? — 2i =+ 1) (8 — 8i + 7?— 2) = 0 
ou 
iê — 24i" + 801 — 64: = 0, 
i? — 24° + 80i— 64 = 
Comme 
| 
"7.008 2x * 
TE 
il faudra que 
64i — DOC + 24i — 1 = 0 
soit PER ayant pour racines les carrés y va- 
leurs de COS 7. La trigonométrie montre que cos Z 7 est 
racine de l'équation 
Gi — 1122? + 5622 — 7x + 1 — 0 
satisfaite par c — — 1. Divisant par z 4- 1, j'ai 
| 64a 
— 64a" — 48a* + 482? + 8? — 8x + 1 — 0, 
