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BULLETIN 
DE L'ACADÈMIE IMPERIALE DES SCIENCES DE ST.-PÉTERSROURG. 
Über einen Fehler in den Exercices de Mas 
thématiques par M' A. L. Cauchy. Se- 
conde année. 1827. p. 141. sqq. Von Th. 
Clausen. (Lu le 2 septembre 1859.) 
Der an diesem Orte stehende Aufsatz führt die Über- 
schrift: Sur les fonctions réciproques, und enthält eine 
grosse Anzahl interessanter Relationen, von denen 
Laplace und Poisson mehrere auf eigene Weise ab- 
geleitet haben. Unter denen, die Cauchy zuerst ent- 
wickelt, finden sich mehrere, die augenscheinlich un- 
richtig sind; z. B. 
(83.) Per cotng £ re 
0 
1 2 3 
letter ) 
da das Integral unendlich gross wird von r — o bis 
r — einer sehr kleinen endlichen Grósse; wie ganz 
allgemein bekannt ist. Eben dasselbe gilt von der For- 
mel: 
(88) Te" cotng (ar) dr = 
— a? — 4g? — 9a? 
T (e +e —+ € +...... ), 
die überdies auf der linken Seite einen Werth mit ent- 
Sesengesetzten Zeichen erhält, wenn man — a statt 
+ a setzt, auf der rechten Seite hingegen denselben 
Werth behält. Wenn man die Ableitung dieser For- 
meln verfolgt, so scheint kein Fehler gemacht zu sein: 
Indessen ergiebt sich bei nüherer Erwägung, dass in 
der Entwickelung des Integrals 
! (r) sin (ar) dr 
d (58.) IE d . ary? 
t + (1— 9) (2sinf) | 
ims unstatthafte Annahme gemacht ist. Es bedeuten 
ee diesem Integrale 3 und e sehr kleine Gróssen. Ent- 
« Vickelt man die Gleichung nach Potenzen von r, so 
ergiebt sich 
| ( (0) -- D (o) r +- e) (ar — tar + ...)dr 
xut nemo E aL : 
^ $ + (1— e) a — EC + a) 
Tome I. 
Entwickelt man den Zähler nach aufsteigenden Po- 
tenzen von r, und setzt ihn d (o) ar + Br! + Cr? + 
etc.; so sieht man leicht, dass die Integration von 
(Br -- GA. .)dr 
ari 
0 
e --(1 — €) (ar — + p.) 
für ein sehr kleines e und 3 sehr klein wird, und selbst 
wenn e — o ist, einen sehr kleinen Werth erhält, der 
für ein angeblich kleines 3 kleiner als jede angebliche 
Grüsse werden kann. 
Es bleibt also nur der Werth von 
d d(o)ardr 
ee us t E T PE 
]: >a Eller +...) 
zu betrachten. Hierin kann man zu und die folgen- 
den Glieder vernachlässigen, da sie im Verhältnisse 
zu ar und also auch zu & + a?r? äusserst klein sind. 
Ebenso kann man aus demselben Grunde 1 statt l—e 
setzen, und hat dann 
9 (o) ar dr 
an (1), 
wobei vorausgesetzt wird, dass d (o) eine endliche 
Grösse ist. 
Cauchy setzt nun r — es, wodurch das Integral wird 
ò 
0 a282 
Fee Ate 5n) 
Soll man das Integral (1) vernachlässigen dürfen, so 
muss es durch einen angeblichen Werth von 3 kleiner 
als jede angebliche Grösse werden können. Dieses ist 
für jeden angeblichen Werth von e der Fall; wenn 
Ly < A werden soll, so muss 3 < © V A 
sein, welches für ein angebliches « immer möglich ist. 
Wenn aber <= o ist, so giebt es, wie man leicht sieht, 
keinen endlichen Werth von 3, der dieser Forderung 
genügt. Die Formeln (58), (62) u. s. w. bei Cauchy 
können also nicht auf den Fall « — o ausgedehnt wer- 
den. 
nämlich 
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