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Bulletin de l'Académie Empériale 
En faisant la méme hypothèse sur les valeurs de 
et en supposant que d (x) se réduit à une constante 
S CER 
on trouve que l'expression 
9* (zi) 
22-4 
+1 
du 
PTT 
—1 
et comme les réduites de cette expression ont pour 
dénominateurs les fonctions désignées par X”, il en 
résulte la série connue, ordonnée suivant les valeurs 
de ces fonctions. 
Dans une note lue à l'Académie en 1858 j'ai in- 
diqué l'expression trés simple des dénominateurs des 
réduites de 
SNE "D. 
devient 
acm C — Tj" 
quand on a 
(az) — 1, 
et que les valeurs 
AE La 
sont équidistantes. Ceci nous a fourni une nouvelle 
série pour le développement des fonctions, série d'au- 
tant plus remarquable qu'elle ne laisse rien à desirer 
pour l'interpolation parabolique dans un des cas les 
plus ordinaires de la pratique. 
Nous allons indiquer à présent encore deux cas, oü 
les dénominateurs des réduites de l'expression 
NS 
r—zcj 
ont une forme remarquable, ce qui, en vertu de nos 
recherches antérieures, donne encore lieu à deux nou- 
velles séries pour le développement des fonctions, sé- 
ries qui, dans certaines circonstances, fourniront les 
résultats avec la moindre erreur à craindre. 
8 2. Si, depuis — œ jusqu'à + +, les différentes 
valeurs de la variable x ont la probabilité yc KIM 
et que l'on cherche pour toutes ces valeurs de z l'ex- 
pression approximative de F(x), sous la forme d'un 
polynome, avec la moindre erreur à craindre, on aura, 
d'aprés notre Mémoire cité plus haut, cette formule 
pour la détermination de l'expression cherchée de f(x): 
bs yr 
oo 
vi — kg? 
=. Yolz)Fiz)dz 
Fe)=-%- pea Y, (2) 
E yt. Yo” (z)dz 
y, (z) F (x) dz 
oü 
p, (x), d (x), 
sont les dénominateurs des réduites de la fraction 
continue qui résulte de 
ivy. I Ca ku? 
e esa ANA 
Or, ce développement de F(x) se réduit à une forme 
trés remarquable, toutes les fonctions 
p (2), Y, @), 
comme il est aisé de s'en assurer, étant exprimables de 
cette manière trés simple: 
: ke ht " ha? de—ka? 
ý (2)=e „€ D b(@)=e ‘dx y "Rs 
(1) ka?  gle—ka? 
Ee, COLLIER 
En effet, d'aprés ces valeurs des fonctions 
ba), d, Lei, e 
on trouve en général 
[vi z due) F(z)dz — H d = ka? Fax 
Se vif. M FÓ(z)dz, 
DAC) = vil s 
apy im Reeg E 
"m T. cus - (28), 
en vertu de quoi la formule précédente devient 
T du (2) dx 
