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Bulletin de l'Académie Imperiale 
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Ainsi N, = 4, [—4 5 v + A, 5y (v — 2y* + 2y — 1) 
+ A/S (7v ? 15 7)4-184, Sy (s 1)2- A; (11v 1) 
+ 5A ,06—1)2- 5] [—AN — Aj» (9 —2y P + 2v— 1) 
—54 (v —»-4-1)—104, Sobre d, ? (y —1 3v 4-1) 
+ 34.0 1) 4- 1]. 
Le dernier facteur est égal au produit des termes 
de VA, [— A?v' + A, (1 — 25) — 34, + 1] [4> 
+ Av (y — 2) + 99A, +1]. 
On voit quelle symétrie offre le calcul des valeurs 
à indice pair. Deux divisions seules seraient à faire, 
une pour le numérateur, une pour le dénominateur; 
les coefficients numériques, entrant dans celui-ci, en- 
treront aussi dans celui-là. On saisit méme déjà quel- 
ques parties de la loi générale, insuffisantes néanmoins 
pour appliquer le calcul aux différences combiné avec 
la méthode des coefficients indéterminés. 
9. Cas où la constante v est nulle. Que l’induction, 
si féconde entre les mains d'un Euler, puisse sup- 
pléer au défaut de méthode en la présente conjonc- 
ture, c’est ce qui ne me paraît pas douteux: elle mène, 
en effet, le premier venu à la solution générale dans 
un cas particulier. Soit y — 0, nous aurons la suite 
de valeurs: 
A= (A, —1), 4,—4,(4, +2), 4,—(4/—34,+1), 
AAN; 2 4A +3) —A((4,— DA, — 3), A,— 
(4, WEE 2-64, 17, A, — A, (4, 5—64/4-104,—4) 
—A,lA, oy (4/—44 +27, Ae (4, 74, * 154, i 
—104,-- 1), 4,—4,(4, '—8A/ 4-214, ? 904 20 
= A(A,—3A Dë e ^ —BA e 4 p= (A44 —94, 
+ 284? — 35A, + 154 pet u 
La plus légére inspection de ces valeurs montre 
que le degré est égal à l'indice et que les coefficients | 
sont les nombres figurés. 
Soit 
Pro pe —2 
A, = A, — C a Ai E ap ia ESL ES 
E 2 
EC T „Ar E ‚zE 1) 
le signé + ae à k pair et le signe — 
k impair; 
a P A 
4,,41 77 Ar D SR HT, EL 
+ Gr E us DT y , 
avec les mêmes correspondances de signes; où €' dé- 
signe le nombre des combinaisons complètes de plu- 
sieurs lettres. 
La relation 4,.4,_,—(4,_,— 1) sera satisfaite 
par la substitution de semblables polynomes en 4,. 
Le produit VA, „+° VA à pour terme général 
+ 42p+1—k—-F 
re À, n C bao ccu +3,k d 
2p —2k-- Ak * 
le polynome 
bis c^ E , ! : 2p—k—k+1 
es: 1, ae 2p —2k--2, k * C 2p —2k --2,k * A, > 
et si k et k sont de même parité, il y aura le terme 
kak’ 
£ 2 —k—k , D ` 
C RM k—K, A® +1 Pour établir à poste- 
riori la légitimité de la formule, on aurait à démontrer 
que 
[4 ! 
zC 2p —2k+1,k * d 2p — 2k ab 
L— 22€ ; D , RK 
2p — 2k -- 2, k 2p — 2k +-2,k ? 
k et k conservant une somme fixe. 
Si 4,1; 4=0, 4= 1, A,— 1, 4,—0, A,— 1, 
4,—1, 4,—0,... ou 44,— 1, 4,,-+1=1, 4,2-2—0. 
Ces hypothèses, introduites dans l'expression géné- 
rale, fourniraient des résultats remarquables sur les 
combinaisons. 
Si 4,22 —1; A4,— 4, 4,— —9, 4,—25, 4,—64,... 
ce sont les carrés des nombres de la série 1, 1, 2, 3, 
5,8, 18, changés de signe pour les indices impairs. 
M. Tchébychef m'a fait remarquer que l'équation 
AAN, —U T 1)’, s'intègre immédiatement. au 
moyen de l'égalité: 
sin sin (Ig). sin (/—2 e — (e ((I—1)9? 1 
sio ^ snp - sin o ) Er 
Il pose VA, — et trouve: 
reg r n — (a — Ya? d 2 
A s 9n-1-1 V4? A 
De mon cóté, remontant à l'égalité 
[4, ,(I9»- 94) - 4. > = 4174 N, 
et y faisant » = 0, je trouve _ 
YA,3-YÀ, ,—92iVA, — 
équation bien connue. 
Cela explique et justifie les conséquences de l'in- 
duction. Enfin le probleme de Fuss est résolu, lors- 
que les cercles se touchent; car 
Ja (R+r-+8) (R+r— 8) (R—r +8) (+r — R) 
es = ^ 
et, s'il est nul, ou R-- r = 
