BULLETIN 
DE L’ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES DE ST.-PETERSBOURG. 
Sur la courbure des surfaces. par M. Os- 
trogradski. (Lu le 20 janvier 1860.) 
Désignons par U une fonction de trois coordonnées 
x, y, z, rectilignes et rectangles, et soit U — O l'équa- 
tion d'une surface. Tracons sur cette surface une 
courbe C, il s'agira du rayon de courbure de cette 
ligne en un de ses points pris à volonté. Soient O le 
point dont il s'agit et o le rayon de courbure qui s'y 
rapporte. 
Par le point O menons la normale ON à la surface 
U = O et la tangente OT à la courbe C, puis prenant 
sur cette méme courbe un point O' consécutif à O, 
concévons y la normale ON et la tangente OT, e 
premiére à la surface et la seconde à la courbe. Nous 
supposerons que les droites ON et OT soient prises 
dans les directions qui fassent respectivement avec 
les directions ON et OT les angles infiniment petits, 
non dans celles qui leurs sont presque opposées; nous 
désignerons ces angles infiniment petits par dc et do, 
savoir par dæ, l'angle entre les normales ON et ON 
et par do, l'angle entre les tangentes consécutives OT 
et O'T; ou l'angle de contingence. Concévons enfin 
par le point O les droites ON, et OT, de mémes di- 
rections respectives que ON ét oT et désignons par 
9 et 9 les angles que le plan conduit par les droites 
ON et OT fait avec le plan de droites ON et ON, et 
avec celui des droites OT et OT,. 
La considération de l'angle trièdre ayant pour les 
arétes les directions ON, OT et OT,, ou du triangle 
spherique correspondant, donnera immédiatement pour 
cosinus de l'angle compris entre les directions ON et 
OT, l'expression suivante : 
do cos 8. 
Désignons par d l'angle entre les directions OT et 
ON, c'est-à-dire entre la tangente au point O et la 
normale au point O'. En considérant l'angle triédre 
ayant pour les arétes les directions OT, OT, et ON, 
ou bien celui dont les arétes sont ON, ON, et OT,, 
Tome I. 
nous trouverons la valeur suivante du cosinus de 
l'angle compris entre ON, et OT, 
do cos 0 + cos t, 
or l'angle dont il s'agit étant droit, nous aurons 
do cos Ó + cos y = O. 
Ce résultat est visible sans calcul par les premiers 
principes du calcul différentiel; car le cosinus de 
l'angle entre ON et OT variant de cos par le chan- 
gement du coté ON en ON, et de docosÓ, par le 
changement du cóté OT en OT,, la variation totale, 
par le changement simultané de deux cótés sera la 
somme 
do cos O + cos t 
de deux variations partielles; car on ne considère que 
les infiniments petits du premier ordre. Or le change- 
ment simultané des cótés ON et OT en ON, et OT,, 
n'altérant point l'angle qui est droit, nous aurons 
do cos 0 + cos à = O. 
En désignant par ds l'élément OO' de la courbe 
€ et se rappelant que l'angle de contingence do est 
égal à cet élément divisé par le rayon de courbure o, 
l'équation précédente deviendra 
et s =’ SCH 
Or cosinus de l'angle entre la tangente au point 
O et la normale au point consécutif O; c'est-à-dire 
cos ty, ne dépend que de la position du dernier point 
par rapport au premier, car la tangente OT est le pro- 
longement de l'élément OO et la normale ON est 
fixée par la position du point O' oü elle est normale, 
il s'ensuit que cos), donc aussi 77, ne dépend que 
des différentielles premières des les ou ce qui 
revient au méme, de la direction de la tangente OT; 
les différentielles secondes n'y entrent point, donc 
=? et par conséquence = aussi, ne dépendent au- 
En de la position du plan osculateur de la 
courbe €; en sorte que le quotient °° qu'on obtient 
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