547 Bulletin de l'Académie Empériale 548 
en divisant par le rayon de courbure le cosinus de ne dio rer apis Er. igi qx, og +- 
l'angle entre le plan osculateur et le plan normal ; ii y 
passant par la tangente, restera le méme pour toutes | + 24:171 + 2 agi P1) 
les courbes qui se touchent au point O; c 'est-à-dire 
qui ont en ce point la tangente commune, quels que 
soient d'ailleurs les plans osculateurs de ces courbes. 
Cet énoncé comprend le théoréme de Meunier, ou 
plutót c'est le théoréme dont il s'agit lui méme. 
Pour obtenir l'expression de 
coso 
Sai 
en fonctions des coordonnées x, y, z, et les angles 
relatifs à la direction de la tangente OT, appellons 
a, 8, y, les cosinus des angles que cette direction fait 
avec les axes coordonnées, et soient a, b, c, les cosinus 
des angles que fait avec les mémes axes, la normale 
ON. La normale O'N' fera avec les axes les cosinus 
a + da, b +- db, c+ dc, donc à cause de 
aa + Bb + (c = O, 
cosy ^ ada+ßdb+yde 
dg "s dS e 
Faisons pour abréger 
Lb SE du 
x dp t 
multiplions haut et bas de l'expression précédente de 
ds ? 
— ni par k et puis ajoutons au numérateur la quan- 
tité 
(aa = Bb +- yc) dk, 
qui est nulle, nous trouverons 
cos: —— ad(ka) + Qd (kb) + yd (kc) 
LT NE kds 
ou 
coso — «d (ka) + Bd (ka) + yd (kc) 
Qe kds t 
or 
k=”, B oi, ko ciam 
dz? 
i désignant + 1, on prendra ; — 1 quand la normale 
à partir de O sera dirigée dans l'espace oü la fonction 
u est positive, on prendra č — — 1 dans le cas con- 
traire. 
Nous aurons 
du\ 
cm — (++) 
kds 
savoir 
Nous aurions pu obtenir ce résultat aussitôt que 
nous avons appris que le cosinus de langle entre 
ON et OT, était do cos ou ==> 045 : en effet le méme 
cosinus est aussi . 
a(a+ da) + b(B + dB)-+-c(y-+dy)— ada + bd + ed. 
ou à cause de ax + bg + cy = O, 
— (ada + (db +- yde), 
ainsi 
cos 0 — «da + Bdb + yde 
SCH as 
Nous n'irons pas plus loin, nous renverrons pour 
les développements ultérieurs aux ouvrages qui trai- 
tent de la courbure des surfaces et particuliérement 
aux lecons sur les applications du calcul infinitésimal 
à la Géométrie par Cauchy (lecon XIX, page 329 
et suivants). 
Nous remarquerons que la considération de l'angle 
triédre, ayant pour les arétes les directions ON, OT 
et ON,, donnera pour cosinus de l'angle entre oT 
et OT, c’est-à-dire pour eos: l'expression suivante: 
cosb = da cos 9, 
nous aurons donc 
da cos o — ada + Bdb + yde, 
ou | 
d'u 
ar ab 
dzdy 
dw cos $ as 
ds dx? 
HE a + 
EE ere 2 Ze Pr) 
Cette formule étant au signe prés la méme que 
celle qui donne le rayon de courbure d'une section 
normale, peut-étre traitée comme celle-ci. 
En substituant dans l'équation 
do cos Ó + cos t, 
pour cos: sa valeur de cos o, nous aurons 
do cos 0 + do cos 9 = O. 
