137 des Sciences de Saint- Pétersbourg. 138 
la somme „Ho +0 +0 +... 4-97 7 différant| (5) [A (ag — 'e (x)? V (yg-t- Y (Y—o]) d 
infiniment peu de la limite supérieure de y, que nous ( T ST Dk ee N EA vw. 
avons représentée par E De cette manière nous au- 
rons cette suite infinie de fractions égales: 
9 (zo-3-2€) 
(yo ou") 
Plot 
d (yg-4-€ +0 4- € 
9 (2o) sui 
9 (yo) - 
9 (zg +£) E 
y (yg- €) 
H 
Me a beos SÄ. £) 
— Puto FEE oA —2)) 7 
LL. 9(X) 
UT 4 
Remplacons ces égalités par la suite des fractions in- 
égales 
(D) Q (2o)E . P(to-E)Ee .  p(ro+26e)e 
T * (yg)? (ortu) o! d (yg4-o4- 9) o" 
Socii Lis 
b (yo-3-9 4-9 ta — 2) (m — D? 
ou bien t 
(2) " 9 (To) € CS ACER Q (£0) € 
yo’ Aide id?" Puo MnD? 
qui dérivent d'une manière trés simple des précé- 
dentes. Or, comme les deux termes de la fraction 
constante SS 
temps, les dénominateurs des fractions (1) conserve- 
ront constamment le méme signe. Donc, la nouvelle 
fraction que l'on obtiendra, en divisant la somme des 
numérateurs (1) par la somme de leurs dénominateurs, 
sera égale à une fraction moyenne de la série (1) ou (2). 
En remplacant donc ces sommes par des intégrales 
définies, on aura 
f D (x) dz 
: f C monas 
sont croissants ou décroissants en méme 
9 (to) € 
v (Yo) (yo) e? : 
Q)... 
l'ordre y. étant indéterminé. 
Pour trouver l'expression du rapport QUI. soit, 
— pour abréger, k = o + 9 + o" a- . 
h — ye; on aura 
Q (rohe) 
loth) __ 2 
m (yot kot)? 
MUHR ` 
ou bien, puisque e et o? sont infiniment petits, 
Plz) ^ 9(to3-h)-- 9 '(mo3- 7) € 
yy di D (yok) + Ÿ E ei 
de là, en vertu de la premiére égalité, 
€ __ (xs) wv (yo2-k) 
(eU 77 9 (y) * e (ro + À) 
En remplacant h par X(X— z} et k par X (Y— yj, 
à et À étant chacun > 0 et = 1, l'équation (3) de- 
viendra 
Dans cette formule la limite inférieure y, est arbi- 
traire si la valeur constänté de IX n'est pas fixée; 
quant à Y, cette limite est déterminée par l'équation 
9(X) ` egal 
E EE, VD Ti 
Pour ce qui concerne À et A; ces deux nombres sont 
liés entr'eux par la relation 
p(ro+A[X— x) — > (ao) 
V(yo--X(Y— Vol) $i 
de sorte que dans la formule (5) il n’y a qu'une seule 
des quantités X et A qui soit indéterminée. 
Observons, en passant, que si l'on opère sur la 
suite des fractions (2) comme on l'a fait pour les 
fractions (1), la formule intégrale (5) se trouvera 
remplacée par une autre, qui ne contiendra pas de 
signes d'intégration. En effet, la somme des numéra- 
teurs des fractions (2), divisée par la somme de leurs 
dénominateurs, se réduisant simplement à 
(X — 20) 9 (20) 
(Y— yo) Ÿ (Yo) 
à cause des facteurs constants o (z,) et Ÿ (y,), on aura 
(X— zo) P (£0) __ = (Say. 
(Y— yo) (yo) Y (Yo), 
De là, prenant en considération la relation (7), et 
remplaçant x + AU z) et Y+ A (Y— y,) respec- 
tivement par æ et y, on arrivera à la formule trés simple 
V (goi [Y— ol) 
ei (z9-- A[X — z)" 
e Lei  (Y—wg (xz) 
(8) zs ss * ss * * X (y) — (X — gel 9 (y) vy) 
Ainsi, pour en constant, il existera toujours une va- 
ELCH 
leur de x, comprise entre &, el X, et une valeur de y, entre 
les limites y, et Y, pour losquelles les fonctions primitives 
o(x), d (y) et leurs dérivées o (x), v (y) sihi eon) à la 
relation(8). ` 
De la formule (5) on peut déduire plusieurs for- 
mules particuliéres en faisant „différentes hypothèses 
` | sur la forme de la fonctiog Qj. Ainsi, si l'on suppose 
simplement dé (y) = y, on trouvera 
(X — (x) 
di e (a) dx = ag VET Der 
Soit encore e Il = d ; on aura 
(X : — 
(209)... L 9(z) dz = [o (X) — Pelz an 
