Bulletin de l'Académie Impériale 
Ces deux dernières égalités, ainsi qu’un grand 
nombre d'autres du méme genre, pourraierit étre ob- 
tenues trés simplement d'une maniere directe. 
L'idée qui se présente naturellement quand on veut 
appliquer la formule (5) à la transformation de l'in- 
tégrale L E (x) dæ en une autre d "d (y) dy, est de re- 
chercher les cas pour Wen le ‘coëfficient de la der- 
nière intégrale 
Eet 
v (yo) 
est indépendant de À et A et ceux où le rapport 
Lm i serait une fonction de se, Or, l'hypothèse de 
o et y indépendants de X et ^ ne conduit qu'à un 
eas très particulier, nommément ọ (x) =ax— b, 
V (yo4- X [Y— yo]) 
e (ap + [X—xo)) 
d (y) = a'y + b, a, b, a; D étant des quantités con-` 
stantes. La setonde hypothöse, N par la rela- 
tion 
EE 
et qui donnerait 
Leo (Ge) Län 
ne conduit aussi qu'à quelques formes très particu- 
lières des fonctions o et 9. Ainsi, par exemple, pour 
e(z) et, ay — rt 
on obtient, en vertu de la formule (7), 
V'(yod-X[Y—yg) — à Bier: Y (Y—y9). a SS Ÿ (Yo) 
9(zg--X[X—z4) — a'o(zy--MX—2zg) 9 (to) 
SE pa +b 
C o M gama ` 
Donc 
, go -t- b 
T azb a 
Le dëse ea yo b. 
d Y gna 
résultat qu'il est facile de vérifier en faisant attention 
que: l'on a par hypothèse 
gato b eaX+b 
VE — Qa Yeb ' 
* 
Si l'en supposait ` 
+ 
? (x) = Sch evt d (y) — er 
on trouverait - e 
Veces 
ay--b 
et par conséquent 
X de a fY dy 
= — xs | 
arg 4x + b a Jon a yb ? 
Y étant déterminé par l'équation 
, .G'ygd-b — a Y+b 
any tb ` aX--b" 
On arriverait encore à la transformation que l'on 
a en vue si l’on avait 
9 (a) = (ax +b)”, p(y) = (ay +b)”, 
p étant un nombre quelconque, positif ou négatif. On 
aurait dans ce cas 
[^ (ax +b)? de = 
a | any +b estis 
a \a’yy+b’ 
ce qu'on vérifie directement. 
Nous ne nous arréterons pás à mentionner d'autres 
cas pour lesquels la transformation dont il s'agit pour- 
rait réussir. Ces cas sont trop particuliers pour pré- 
senter quelqu'intérét. Nous terminerons cette Note 
en indiquant quelques autres applicaMoga de la for- 
mule (5). Et d'abord, on peut s’en servir, comme de 
la formule connue 
ée 9 (x) dz = (X— za ) 9 (xz, orte), 
pour avoir les limites d'une transcendante Ip 9 (x) dx. 
L (ay 4b)" dy, 
Ainsi, par exemple, pour (x) = 2, la formule par- 
ticulière (10) donne 
(= (£—1)(& Y 
et, en faisant xs, | 
log z = (s — 1) +12 ]). 
Si l'on prend successivement À = 0, À = 1, on trouve 
les inégalités connues 
log z 
X de 
La méme formule (10), pour la transcendante E Inge’ 
& fournit 
d = : 
- "e = FS > s p ) (æ [X4 log(z, X [X—2,]), 
et comme la fonction u est croissante, on aura 
X dz 
& Ei & z ues; log ben s „log: To 
Are be jx) Ylog X 
