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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
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pignons, soit encore en notant, pendant qu'il fonc- 
tionne, le nombre des révolutions completes effectuées 
par le cadran. 
Telle est la question que je me suis proposée; la 
solution que j'en ai trouvée, quoiqu'assez simple, con- 
duit néanmoins à quelques détails de mécanisme qui 
ont encore besoin d'étre éprouvés; aussi, je ne m'ar- 
rète pas définitivement à la construction que j'ai ima- 
ginée. Je ne donnerai donc point ici la description du 
planimétre libre tel que je le conçois maintenant; mais 
je crois qu'il ne sera pas superflu, pour les personnes 
qui prennent intérét à ces sortes de considérations, 
d'établir la possibilité théorique d'un planimètre libre. 
Cette démonstration sera l’objet de la Note que je 
présente. 
Et d'abord, pour la clarté, rappelons deux propo- 
sitions, trés simples, concernant le mouvement d'une 
roue telle qu'on les emploie dans les planimétres. Sup- 
posons en premier lieu que la roue roule sur un plan 
suivant une direction non perpendiculaire à la projec- 
tion de l'axe de rotation sur ce méme plan. Soit ab 
(fig. 1) la roue considérée dans une position verticale, 
Im son axe de rotation et bc la projection de celui-ci 
sur le plan horizontal. Si la roue roule en parcourant 
la droite horizontale dd, perpendiculaire à be, sa cir- 
conférence décrira évidemment un arc qui, rectifié, 
sera égal à la longueur bd. Mais si la roue est trans- 
portée de b en e suivant la droite be, l'axe Im restant 
constamment paralléle à sa direction primitive, la cir- | 
conférence de la roue décrira un arc dont la longueur 
sera inférieure à l'espace parcouru, et nommément 
égale à la projection de be sur bd, c. à d. à la longueur 
bd. Ainsi, en faisant be — l, angle dóe— 9, et désignant 
para l'indication de la roue, on aura «=1cosg. 
La seconde proposition concerne le mouvement de 
translation de la roue combiné avec celui de sa rotation 
autour d'un point pris sur la direction de son axe. 
Soit ab (fig. 2) cette roue, et cO l'axe horizontal au- 
tour duquel s'effectue sa rotation. Supposons qu'on ait 
fait décrire au point O la droite OO. et que la roue, | 
avec son axe, ait pris la nouvelle position O'a'b. Cela 
posé, si l'on mène O d — Oe parallélement à Oc, lin- 
dication de la roue dans sa position finale a'b', c. à d. 
l’are deerit par sa circonférence durant tout le mou- | 
vement, sera représenté par la somme algébrique de la | 
distance perpendiculaire entre les deux parallèles Oe | 
* 
et Oe et de l'arc de, décrit du point O' pris pour 
centre avec le rayon Oe —- Oc. Ensorte que si l'on fait 
Oc—R, Q0 —cc" =l, «bec! — o, «c O0 c —0,lindica- 
tion de la roue planimétrique sera exprimée par la 
somme algébrique {cos + RO. Ce résultat revient à 
remplacer le mouvement composé de la roue par les 
deux mouvements simples: 1°. celui de translation de 
l'axe Oc en Oe parallélement à lui même, et 2°. celui 
de rotation autour du point O'. Si l'on faisait décrire 
au point O le contour d'une courbe, la ligne droite / 
serait infiniment petite, et devrait étre remplacée par 
l'élément de l'are de cette courbe. Dans cette hypo- 
thèse, et si le point O a parcouru une portion finie 
du contour, l'expression [cos or RO devra être rem- 
placée par une somme ou une íntégrale d'élémens de 
cette méme espèce. Ces considerations trés simples ont 
servi de point de départ à M. Amsler dans son pla- 
nimétre à deux branches. 
Venons maintenant à la démonstration de la possi- 
bilité théorique d'un planimétre libre. Pour se convaincre 
de cette possibilité il suffira de faire voir qu'on peut 
concevoir un systeme de roues planimétriques tel que 
leurs indications, dans le passage de l'index d'un point 
du contour à un autre, infiniment voisin, fixent com- 
plétement la premiére position par rapport à la se- 
conde. En effet, si les indications des roues, pour la 
position m’ de l'index, fixent sa position précédente 
m, les indications relatives à m détermineront de méme 
le lieu du point n, infiniment proche de m, et ainsi de 
suite, jusqu'à ce que l'on soit revenu à l'origine du 
mouvement. Si de plus, la direction d'une droite, pas- 
sant par cette origine, est fixée par l'ensemble des in- 
dications, il en faudra conclure que le systeme des 
roues planimétriques accusera implicitement, et à cha- 
que instant, les coordonnées du contour que l'on par- 
court. Or, ces données seront visiblement suffisantes 
pour avoir la surface limitée par ce contour, car elle 
s'exprime, par exemple, par l'une des deux intégrales 
Lie, Jude 
si les coordonnées sont polaires ou rectilignes à axes 
rectangulaires, et, en tout cas, par une fonction inté- 
grale connue des coordonnées dont on fait usage. ` 
Nous pourrions indiquer un nombre illimité de com- 
binaisons de trois roues planimétriques qui serviraient à 
déterminer, à chaque instant, les coordonnées du point 
