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Bulletin de l’Académie Impériale 
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du contour indiqué par l'index, et qui, par conséquent, 
‘résoudraient la question au point de vue théorique. 
L'une des combinaisons les plus simples, pour la dé- 
monstration que nous avons en vue, est le systeme de 
trois roues égales ac, df, gk (fig. 3). Leurs axes mb, 
me, mh, que nous supposons égaux, viennent aboutir 
en un point commun m, extrémité supérieure d'un in- 
dex vertical d'une hauteur égale au rayon commun 
des trois roues; les angles bme et emh sont supposés 
invariables; pour.plus de simplicité on peut prendre 
chacun d'eux égal à 45°, ce qui ab que l'angle total 
bmh est droit. 
Supposons donc qu'aprés avoir fait décrire à Pin- 
dex la portion de courbe Om (fig. 4), rapportée, sil'on 
veut, aux axes rectangulaires XX; YY, on lui fasse 
parcourir la droite mm', que nous pouvons supposer 
infiniment petite, et prendre pour l'élément. de la 
courbe. Soient a, b, c les indications respectives des 
trois roues dans la premiére position, nommément 
quand l'index est en m, et a,b, c dans la seconde, 
lorsqu'il se trouve en m’. Les différences à'—a =i, 
b —b=i', ed —c=:i” exprimeront les variations des 
roues pendant le parcours de l'élément mm'. Cela 
posé, si, au moyen des indications 1, ù, €, on peut fi- 
xer la premiere position de l'appareil par rapport à 
la seconde, le but sera atteint; en effet, puisqu’on 
admet que du point m' on peut revenir au point m, on 
passera dela méme manière de m en n, de n en n et ainsi | 
de proche en proche, jusqu'au point O, origine du mou- | 
vement que nous prenons en méme temps pour ori- 
gine des coordonnées. Quant à la détermination de la 
direction de l'un des axes XX; FF, ce qu'il y aura de 
plus simple à supposer, c'est qu'à l'origine du mou- 
vement on ait fait coincider la projection de l'axe de 
la 1° roue avec l'axe des y, et par conséquent celle de 
la 3°”° avec l'axe des abscisses. De cette manière la 
courbe On'nmm; ainsi que sa position par rapport aux 
axes des coordonnées, seront complétement détermi- 
nées. Pour faire voir que les indications 7, 7; +” fixent 
en effet la premiere position de l'appareil, supposons 
qu'il se soit transporté de m en m (fig. 5) d'abord par 
un mouvement de translation, et qu'il soit ainsi parvenu 
à la position m'afy, les axes de trois roues ayant con- 
servé réciproquement leur parallélisme. Soit 4 l'angle 
formé par la droite m'y avec l'axe de la 3°"° roue prise 
dans la seconde position. Dans cette position fictive 
fois 
m a de l'appareil, faisons le tourner autour du point 
m. d'un angle d dans le sens indiqué par la flèche; il 
reprendra alors sa véritable position. Or, en vertu de 
ce qui a été dit plus haut, chacune des indications des 
roues planimétriques se composera de la somme algé- 
brique de deux mouvements: celui de translation et 
celui de rotation. En représentant par s la distance mm' 
et par o l'angle formé par la direction de cette droite 
avec l'axe de la 8*"* roue, on aura pour les indications 
relatives au mouvement de translation 
de la 1° roue. ...scoso 
de la 2% roue... ..scos (o + 45?) 
de la 3"* roue... .s cos (ọ =+ 90°), 
et pour celles qui se rapportent au mouvemt de rota- 
tion de chacune des trois roues le produit rÓ, r désig- 
nant la distance connue des centres des roues au point 
m. D’après cela il viendra 
S COS Q + rÜ — 1 
seme) =r | dais 
s cos (o + 90°) + rà =!" | 
Ces trois équations, résolues par rapport aux trois 
inconnues s, o et 9, donnent 
"dei: euh CR IV 
Kg Y (i—1i)* 
E 
et er 
tango = i—i") — (i—i) Y2 | 
i--i—i'y2 
E Fe Dn Käl ` 
La forme Eis expressions pour s et Ô fait voir im- 
médiatement qu'elles ne peuvent donner lieu à aucune 
indétermination. Quant à la valeur de tang o, elle ne 
pourrait devenir indéterminée que si l'on avait à là 
(i—1)—( —1)v2 a 
(i—7) (i= Hro 0. | 
Or, quand il y a mouvement de translation, e. à d. 
quand s n'est pas nul, ces deux équations ne peuvent 
avoir lieu simultanément; en effet, on en tirerait d'a- 
bord Moe 
et 
D Ca C4 m] 
1$—1 =1 — t, 
ou bien ee 
(ei, 
et en substituant cette valeur de i" dans l'une des é équa- 
tions hypothétiques, la seconde par exemple, on aurait 
mara. )(2—Y2)— = 0; 
