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Bulletin de I'yicad^inie Iitiii^riale 



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Mais il nous semble qn'on n'a pas besoin de rec 

 h ces principes, et nous proposons un moyen, qui 



parait plus convenable, poor la reduction de la varia- 

 tion 8^F; ce moyen est fonde sur une substitution di- 

 recte de certaines expressions algebriques lineaires 

 de quantites arbitraires a la place des variations tron- 



9 



I 



0,9 



S 



, . . . <p^ 







(^) 



Les variations troaquees o,, «j,...«^ et leurs d6ri- 



<2u 



"qu^e 



2 



., que subissent les fonctions qui 

 sigue de I'integrale multiple. 



Dans notre discussion de la variation S^Fnous adop- 

 rons le m^me degre de g§n6ralit^, qui est admis dans 

 m^moire cit6 plus baut de M. C I eb s c h, ainsi que dans 

 s travaux de la plupart des geometres qui ont traite 



variation seconde d'une int^grale simple, et nous 



vees partielles ^, qui sont en m^me temps les varia- 

 tions des derivees partielles jp,,., doivent satisfaire aux 



Equations 



89, 



0,89 



2 



0, . . .8<pj^ = 0, (3) 



dont la forme generate est 



5 



^<9k 





2 2 ^^ — 



{ 



0*) 



.(4) 



supposerons, de meme que 



geometres, que 4es 



limites de I'integrale multiple sont donnees et res 

 invariables ; ce qui revient a supposer que les variat; 

 tronqu^es o,, o„...... sont nulles aux limites des 



U 



& 



Cette 



pas d'influence sur 



I'expression, h la quelle doit ^tre reduite la partie non 

 integrable de la variation 8^F. 



§ 2. Nous exposerons maintenant les preliminaires, 

 qu'il est n6cessaire de connaitre pour la solution de 

 la question qui nous occupe. 



La question proposee du maximum ou du mini 

 mum relatif peut etre ram^n^e, comme I'on sait, k h 

 question du maximum ou do minimum absolu de cett^ 



5gi 



F 



ybdXj dx^. , , dx 



V 



IV 



^k\9k\ 



dans laquelle 



(5) 



les \ representant des fonctions inconnues de Xi, a^, 

 . . . fl/^, qu'il faut determiner, ainsi que les fonctions 

 2/,, au moyen des Equations (2) et d'autres Equations, 



qui dSrivent de la condition 8F 



0. 



Les limites de I'integrale F^tant supposees inva- 

 riables, la variation 8F ne sera autre chose que I'in- 



Soit propose de trouver le maximum ou le minimim ^^grale de la differentielle de F, due aux accroisse- 

 de I'integrale multiple 



W==/wdx^ dx^ 



• • 



dx 



(1) 



17 



ments o,, Oj. . . o, des i/<, Vi* . .y^ et aux accrois- 

 sements ^J, /. . ^ des i?,^„ 1^,,. . . p,,. Nous pou- 



--* 



prise par rapport aux variables ind^pendantes x 

 x^,..>Xfj dont les valeurs extremes ou les limites des 

 integrations successives sont donnees ; la fonction w?, 

 qui se trouve sous le signe/ coutenant explicitement: 

 les variables independantes a?,, x^,...x^j des fonctions 

 inconnues y^, y^j.-.y, de ces variables et les derivees 

 partielles du premier ordre de ces fonctions par rap- 

 port a x^^ x^^,..x^. Ces derivees seront designees dans I o« 



vons done representer cette variation 8Fpar 



4 



8 V=/Q^dXi ,dXi... dx. 



(6) 



en posant pour abreger 



N. 



et 



dv 



ST' 



P., 



dv 



dPsA 



o 



I 



2.Jf.o. 



5 V p <^^j> 



(7) 



suite par 



Pl,0 Pifi^ • ' 'Pi,i' ' ' 'P,^i1 Ps,2i 



« » 



Ps,i 





2 



et en general 



Ps,i 



^3) 



dxf 



Nous admettrons encore que les fonctions ^,,«^j,...y, 

 sont li^es a leurs derivees partielles |?, ,. et aux variables 

 independantes x^ par les Equations 



i 



M 



Nous aurons done 



^i ^) ». • ■ (8) 



W 



jl^A'~^m^^,...d., 



/r^. {^. 





(9) 



minima dans le calcul des Tariation3. Meraoires de FAcad^mie des I seCOnd ordre 

 sdenc€3 de Paris (1786 p. 7). 



3) • 6taat un des nombres 1, 2 

 1, 2...,. ' 



En egalant a zero le second terme de cette expression, 

 on obtient les equations anx derivees partielles du 



. . . i, et s un des nombres 



4) 



signe 2, designant 

 et Sj aux indices 1 , 



