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dos Sciences de Saint - P^tersboiirg^« 



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N 



I 





. .iV. 



2*^- ■ • • (10) 



auxquelles il faut adjoindre les equations (2). Ces 



equations (10) et (2) serviront a determiner les fonc- 

 tions inconnues y^ et \. Les valeurs generales des 

 2/, et Xjj obtenues par I'integration des Equations (10) 

 et (2) contiendront des fonctions arbitraires a,, aa. . . 

 La partie integrable de SF, savoir 



t 



se reduira au moyen de transformations connues h une 



int§grale de I'ordre i 



laquelle, 6tant 6galee a 



zero, donnera des Equations de conditions relatives 

 aux limites de rint^grale F, qui serviront a deter- 

 miner les fonctions arbitraires aj, a^. . . . Mais nous 

 n'avons guere besoin de ces Equations pour !a trans- 

 formation que nous nous proposons de faire dans la 

 variation seconde S^F. 



Cette variation, en vertu de la formule (C), se r6- 



duit a 



2 



aT 



filodx^ . . . dx^ 



ou 



O 



2 



2 (20 1 



s dt/s s 





Or on peut mettre cette derniere expression sous la 



forme 



d 



Q 



% 



2.2. 





dxi 





d 



2* 





par consequent 



52 F 



/[^A 



d 



fdQi 

 \dp 



— 1 



dzf 



Idx^ 



. dXf 



-*-/i2,i 



rdQ 



I 



rfy, 



2. 



dOi 



!Wi)] „,i <j.. 



.da;.. 



ou sous le signey^il faut substituer a Q^ son expres- 

 sion (7). La sommation relative h chacun des in- 

 dices s et i devant ^tre faite deux fois, nous rempla- 

 cerons d'abord dans la formule (7) les indices s et i 

 respectivement par q et j et nous porterons ensuite 

 cette expression dans (11), sans cbanger les indices 



nous obtiendrons ainsi la formule 



ST 



/{2,2,2, 





d^i 



dxf 



f 



. dx^ 



/{2.2,2, 





s 



~dx^ 



dxi...dx^ 



+y]2,2,L 



rdN, 



dj/r ° 



2 ^^ ^ 



idpo^i d<Ci 



2, 



d ^^.Jt* .,) 



i^s 



(12) 



dxi 



2. 



K^i5^) 



d:Cj- 



I 



. diCj.. 



3 



Pour obtenir une expression de S^F qui puisse ser- 

 vir k la distinction du maximum ou minimum de Tin- 

 t^grale F, nous transform erons I'expression (12), en 

 substituant aux variations tronqu^es o, des fonctions 

 lin^aires dc nouvelles variables, dont les coefficients 

 se d6terminent de la maniere suivante: 



D6signant par a^ une constante indeterminee, qui 

 n'cntre dans les expressions gen^ales des y efk que 

 par suite de I'integration des equations (10) et (2), 

 et qui peut se trouver ou dans les fonctions arbitraires 

 a,, Oa. . ., ou ind^pendamment, formons les expres- 



sions 



L 



i,< 





L 



dVi 



1,n 





(13) 



L 



*,i 





L 



s,n 



2h 



dy. 



« n^da^^' 



dans lesquelles 6,,,. . . ft. ,. ..£,,... h sont des 



J 



dans les 

 (2) et les 



constantes indeterminees, qui n'eutrent, 

 fonctions y et \ ni dans les Equations (10 



equations aux limites. 



La somme -2, s'etendant aux constantes a. et « 



designant tous les nombres entiers depuis 1 jusqu'a s. 



Nous representerons encore ces memes valeurs par 



L 



i,< 



2& ^ 



« \,edag 



L 



n^ 



23 



rf^i 



. *^v,e da^ ' 



■ * 



iU) 



L 



o,t 



2 ft 



dy 







« «,ed:a,'* • 



/v 



c,^ 



^e^,tf^^ 



• * • 



secondes sommations. Observant en cHangeant les indices s et t? respectivement on a 



que 



etv. 



d2^, 







dP 



s.i 



dP 



^P»,i 



"^ 



r 



<Jt» 



et 







Les valeurs generales 



des y consider^es comma 



5 . dPgj dpQj 



2 ^^ ^^°'* 



fdp 



SA 



fonctions des a^, ^tant ind^pendantes, et les constantes 

 b ,k ,...parfaitement arbitraires, on peut toujours 

 attrrbuer k ces dernieres des valeurs, pour lesquelles 



