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des Sciences de Slaliit-P^tersboars:. 



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3es derivees de R^"^ par rapport aux x^ sera egale a 



KjV 



r 



% 



w,v 



(23) c.-^-d. 



* • 



r 





dJ?*^ 



«,v 



«,v 



^/ "dXy ' 



(45) 



par cette raison rexpression (40) de p se r^duit a 



2 



h'V 



A 



G 



E 



F 



G 



(54) 



Remplagant dans Tintegrale (50) la valeur de L^^-^. 

 ^ — *v "al^j "^^s pouvons mettre cette int^grale 



par 



sous la forme 



P 



2 2.2v2J 



At 



d 





n "i J t ndx, 



dx 



3 



et, rempla^ant les indices i et j respectivement par j 

 et i, on pent mettre cette expression sous la forme 



G= /1 2 2.2 2 2 . 



J \ n t $ I 



^ t^/S^. ^^ *v^.ny 





jdx^.dXf 



/|2,2^2. ^^^o^iJ!:!! — J dx.dx.. . . dx. 



(55) 





P 



2 2 2.2. 



din ^^ pi^^ 



da?,' dory njV 



II est facile de voir que 





« dxfdx 





2„2 2,2J„-j^i^^''* 



0. 



En effet', si nous designons par 2^. la sommatation 

 relative seuleraent aux combinaisons binaires des in- 

 dices i,j, dans lesquelles ces indices occupent les 

 memes rangs, nous aurons 



■ 



Nous voyons que les secondes integrales des ex- 

 pressions (33) A et (55) G disparaissent; d'ailleurs, si 

 dans la premiere integrale de ^(33) nous substituons 

 la somme 'E^L^^t^ h, «^ et si nous ajoutons le r^sultat 



h, la premiere integrale de C(55) et \ la troisieme de 

 ^(33), nous aurons 



A 



C 



/{2,2,2/J^^}^^,...rfa.,..(56) 



ou 



«.v 



dy 



<3,V 



2 



d^s,i 



A 



d-^t 





2 2 2, 2 J„ ;f-^ 22 



* v,e dap 





^<*P<S.j ^J 



(5T) 



d2#. 



■ 4 



^n2v2,-/«^;^.-^n,v 



#* 



n '^v '^^jt *^n ilx^dx^ ""n,v ' 



u 



» • 



^J. 



or le second membre de cette egalit6 est 6gal a z6ro', 



Or, en vertu de Thypotbese que les variations tron- 

 quees o^ sont nulles aux limites de rint^grale 7, la 

 formule (54) deviendra 



parce que 



tp* 



dH^ 



dx{dXj 



dxjdxj 



r 



et en vertu de la formule (44) 



tn^^^F—G ....(58) 



I 



Le determinant D des quantites L, . 6tant different 

 de zero, si Ton pose 



«r» 



n 



■ * 



• * 







2,2, i„ L 







par consequent 



P 



£ 



^ 



(46) 



on aura 



dD 



dD 



ou 



e 



2 2 2. 



' [v- ^ ^i!] 



dx 



• « 



%. 



5^ 



'v v "V "V difi dfy T? j,« 



(18) 



> ■ 



5,0 



2 2 ^^fi^JLf^M i?-''* 



n,v 



dD 



dD 



(60) 





i 



[/<,v«^^<— A«,v^%] 



et d'apres les formules (37) et (46) on a 



Par 



h 



C X £ 



h 



(49) 



9 



2 2 2 



d< 



L 



(if 



L 





f ^^ ~* ~o ^«~ V dx^ ^?" dx, 'SjV r^^o 



(60 



Si, pour abreger, nous faisons 



±i 



G 

 E 

 F 



G 



fcdx^dx^. . . dx 

 y^dXi . . . dx.. . 



(50) 

 (51) 



(52) 



En ayant 6garcl anx formules (58), (52), (39), (53) 



(61) et en y remplacaot Z...^ et I,,,|; respective- 



par 



, et T 



S: :: t;;. •;;::.;;... (53) K^-vi^^A^ 



fl^ 



formule (58) deviendra 





.r ■ j f&.ffeJj. ..dXf. (%2) 



vertu des formules (32), (33), (36), (49), (50), (51), Les coefficients § ^tant dHermines par les Equations 



(52) et (53) 



(23) et (60). 



Tome XV 



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